第十四讲利用导数求参数范围考向一利用单调性求参数【例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．【答案】a≤0【解析】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.【举一反三】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．【答案】a≤3【解析】因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.2.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a≥3时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数．3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．【答案】3【解析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－，)，∴＝1，即a＝3.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【答案】（0,3）【解析】 f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)， f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜3.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。【举一反三】1．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，即在上恒成立，由二次函数的性质，知在上，，则.故选C.2．已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得.因为函数在上不单调，所以在上存在零点，而，所以，解得.故选D.3.已知函数，.若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围.【答案】【解析】方法一：函数的定义域为，，∴. 函数在上单调递增，∴，即对都成立，∴对都成立.当时，，当且仅当，即时，取等号.∴，即，∴的取值范围为.方法二：函数的定义域为，，∴.方程的根的判别式为.①当，即时，，此时，对都成立,故函数在定义域上是增函数.②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，只需对都成立.设，则，得.故.综合①②得的取值范围为.考向二利用极值求参数【例2-1】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．【答案】见解析【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， x＝±1是函数的极值点．∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)由(1)得f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞1；令f′(x)＜0，得－1＜x＜1.∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．【套路总结】函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情...
