高中数学圆锥曲线中重点问题的求解策略与方法学法指导VIP免费

高中数学圆锥曲线中重点问题的求解策略与方法尹建堂圆锥曲线中的几个重点问题久考不衰，且常考常新，因此，掌握其求解的基本策略与方法是至关重要的。一.求曲线方程问题求曲线方程问题的基本形式有两种：一是已知曲线的形状与位置关系求曲线方程，即通常所说的“求曲线方程”问题，求解的基本策略是：根据题设的“定位”条件，合理选择曲线方程形式，根据“定量”条件利用待定系数法建立关于特征参数（a、b、c、e、p）的方程（组），解出有关参数，得到所求曲线方程。二是题设条件给出了点的运动规律，但难以判断曲线类型和方程的具体形式，即通常所说的“求轨迹方程”问题，求解的基本策略是：分析清楚动点运动的基本规律（动点所满足的几何条件），把该条件坐标化，使条件坐标化的常用方法有定义法、直接法、代点法、转移法、参数法、向量法等。例1.如图1所示，抛物线ypxpp2220()()的准线和焦点分别是双曲线的右准线和右焦点，直线ykx与抛物线及双曲线在第一象限分别交于A、B两点，且A为OB中点。图1（1）当k3时，求双曲线渐近线的斜率；（2）在（1）的条件下，若双曲线的一条渐近线在y轴上截距为473，求抛物线和双曲线方程。分析：（1）注意kbae渐21，故需求出e；（2）由题意知双曲线方程为()xxayb022221根据已知条件利用特征参数a、b、c、p的关系可获解解：（1）由yxypxp3222()，得点A（p，3p）或A（pp333，）（舍去）由A是OB的中点，得点B（2p，23p）则||()()OBppp223422，且点B到准线xp的距离为dp3由离心率及双曲线定义，得：ecaOBdppkbae||43431732渐（2）依题意设双曲线方程为()()xxaybxp0222201，则双曲线的一条渐近线方程为yxx730()，由渐近线在y轴上截距为473，得x04，从而知双曲线的半焦距c＝4。用心爱心专心由baccab734222，得ab2297∴所求双曲线方程为()xy497122 pcac249474∴所求抛物线方程为yx27278()评注：圆锥曲线中的特征参数a、b、c、e、p（焦点到相应准线的距离）及其间的关系：acb222（椭圆取“＋”，双曲线取“－”），ecapbc，2，反映了圆锥曲线的本质属性，且与坐标系的选取无关，在解决圆锥曲线的诸多问题中起着十分重要的作用。二.直线与圆锥曲线位置关系问题求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。例2.直线ykx1与双曲线3122xy相交于不同两点A、B。（1）以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值。（2）是否存在k，使A、B两点关于直线yx2对称？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。分析：（1）所给圆过原点的条件为2||||OCAB（C为AB中点），将其转化为k的方程；（2）用假设法求解。解：（1）将ykx1代入3122xy，消去y，得：()322022kxkx依题意知k3，由483022kk()，得63k或33k或36k设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点C（x0，y0），由韦达定理，得xxkkxxk1221222323，于是xxxkkykxk012200223133，即C（kkk33322，）因以AB为直径的圆过原点，则在Rt△AOB中，2||||OCAB，由两点距离公式及弦长公式，得：233312342322222222()()()()kkkkkkk化简，得kk42430，解得k1或k3（舍去）（2）假设存在k，使A、B关于直线yx2对称，则直线yx2垂直平分线段AB，于是k12且AB中点在直线yx2上。由yx121与3122xy联立，消去y，得：114802xx用心爱心专心由韦达定理、中点公式，可得AB中点C（2111211，）显然点C不在直线yx2上，故满足条件的k不存在。评注：（1）中要注意圆锥曲线与直线方程联立得到相应的一元二次方程的二次项系数，对它们交点个数的影响；（2）属探索型问题，也是高考中的常见题型，基本解法有假设法、反证法。三...