专题限时集训(十)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：60分钟)1．(2018·北京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明．[解](1)由题可得解得.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)结论：θ1＝θ2，理由如下：由题知直线l1斜率存在，设l1：y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立，消去y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，由题易知Δ＞0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，因为l2与l1斜率相反且过原点，设l2：y＝－kx，E(x3，y3)，F(x4，y4)，联立消去y得(1＋2k2)x2－2＝0，由题易知Δ＞0恒成立，由根与系数的关系得x3＋x4＝0，x3x4＝，因为E，F两点不与A，B重合，所以直线AE，BF存在斜率kAE，kBF，则kAE＋kBF＝k·＝k·＝k·＝0，所以直线AE，BF的倾斜角互补，所以θ1＝θ2.2．(2018·枣庄模拟)已知抛物线C：y2＝2px(0
b>0)的离心率与双曲线－＝1的离心率互为倒数，且过点P.(1)求椭圆C的方程；(2)过P作两条直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜)相切且分别交椭圆于M、N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点)．[解](1)可得e＝，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c，因为C过点P，所以＋＝1，又c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)①证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜)相切，则有k1＝－k2，直线l1的方程为y－＝k1(x－1)，联立方程组消去y，得x2(4k＋3)＋k1(12－8k1)x＋(3－2k1)2－12＝0，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1＋1＝，同理，当l2与椭圆相交时，x2＋1＝，所以x1－x2＝，而y1－y2＝k1(x1＋x2)－2k1＝，所以直线MN的斜率k＝＝.②设直线MN的方程为y＝x＋m，联立方程组消去y得x2＋mx＋m2－3＝0，所以|MN|＝·＝，原点O到直线的距离d＝，△OMN面积为S＝··＝≤＝，当且仅当m2＝2时取得等号．经检验，存在r(0＜r＜)，使得过点P的两条直线与圆(x－1)2＋y2＝r2相切，且与椭圆有两个交点M，N.所以△OMN面积的最大值为.
