高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第21讲 导数中参数问题的求解策略-人教版高三全册数学试题VIP免费

第21讲导数中参数问题的求解策略【知识要点】导数中参数的问题是高考的重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题.导数中参数问题的处理常用的有分离参数和分类讨论两种方法,并且先考虑分离参数，如果分离参数不行，可以再考虑分类讨论.因为分离参数解题效率相对高一点.【方法讲评】方法一分离参数法解题步骤先分离参数，再解答.【例1】已知函数.（1）若，当时，求的单调递减区间；（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.如图，作出函数的大致图象，则要使方程的唯一的实根，【点评】有唯一的实根,如果直接研究，左边函数含有参数，和右边的函数分析交点，不是很方便，但是分离参数后得，左边函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，交点分析起来比较方便.【反馈检测1】已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值．【反馈检测2】已知，．（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；（3）已知不等式恒成立，若方程恰有两个不等实根，求的取值范围．方法二分类讨论法解题步骤就参数分类讨论解答.【例2】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.【解析】（1）函数的定义域为.，记，判别式.①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，∴又，.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.【点评】（1）第1问，要研究导函数，必须研究二次函数的图像，但是二次函数的判别式无法确定正负，所以要分类讨论.(2)第2问，与第1问同，也要分类讨论.【反馈检测3】已知函数.（1）若函数在时取得极值，求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【反馈检测4】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，均有，求实数的范围.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：导数中参数问题的求解策略参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）．（2）由已知得，令，则，所以在单调递增，∴，∴，即的最大值为【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）．【反馈检测2详细解析】（1），由题意的解集为，即的两根分别是，，代入得，∴．（2）由（1）知，，∴，，∴点处的切线斜率，∴函数的图象在点处的切线方程为，即．【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】（1），依题意有，即，解得.检验：当时，.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.综上可知.【反馈检测4答案】（1）见解析;（2）.【反馈检测4详细解析】（1），当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；当时，.若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由，所以函数的不存在单调递增区间；若，由得，所以函数的单调递增区间为；若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.当时，，①当时，恒成立，即恒大于零，则：单调递增，.单调递增，，满足条件.②当，则时，，即在单调递减，，在单调递减，，不符题意，故舍去.综上所述：时，恒成立.