第三讲直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一直线与圆的位置关系【例1】（1）4．圆(x−1)2+(y+2)2=6与直线2x+y−5=0的位置关系是（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离（2）在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．（3）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．【答案】（1）B（2）相切（3）[0,10]【解析】（1）由题意知圆心(1,−2)到直线2x+y−5=0的距离d=|2×1−2−5|❑√22+12=❑√5<❑√6且2×1+(−2)−5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．（2）因为asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．（3）圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(－1,2)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－m＝0的距离d＝＝， 直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，∴0≤≤1，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0,10]．【套路秘籍】---千里之行始于足下【套路总结】直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离（3）d与r比较大小【举一反三】1．若直线2x+y−2=0与圆(x-1)2+(y−a)2=1相切，则a=______．【答案】±❑√5【解析】由题意，直线2x+y−2=0与圆(x−1)2+(y−a)2=1相切，所以d¿¿2×1+a−2∨¿❑√22+12=1¿，解得a=±❑√5．故答案为：±❑√5．2．若曲线y=❑√1−x2与直线y=x+b始终有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[−1,❑√2]B．¿C．[−❑√2,❑√2]D．[1,❑√2]【答案】A【解析】 y¿❑√1−x2表示x2+y2=1在x轴上方的部分（包括x轴上的点），作出函数y¿❑√1−x2与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时，d=|b|❑√2=1，即得b=±❑√2,结合图像可知b=❑√2，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线y=❑√1−x2与直线y=x+b始终有公共点，则﹣1≤b≤❑√2.故选：A．3．已知圆C过点P(2,1)，圆心为C(5,−3)．（1）求圆C的标准方程；（2）如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点，求实数k的取值范围．【答案】（1）(x−5)2+(y+3)2=25（2）(940,+∞)【解析】（1）由已知可得圆的半径为|PC|=❑√(5−2)2+(−3−1)2=5．∴圆C的标准方程(x−5)2+(y+3)2=25；（2）由题意可知，直线方程为y=kx+1，即kx−y+1=0．由|5k+3+1|❑√k2+1>5，解得k>940．∴实数k的取值范围是(940,+∞)．考向二直线与圆的弦长【例2】（1）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且|AB|=❑√3，则m=¿。【答案】（1）2（2）±❑√3【解析】（1） 圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，∴弦长AB＝2＝2.（2）因为直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点，且|AB|=❑√3所以圆的半径为r=❑√3，|AB|2=❑√32由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为d=|−3|❑√m2+12=3❑√m2+1由垂径定理可得d2+(|AB|2)2=r2代入可得9m2+1+34=3解方程可得m=±❑√3【套路总结】直线与圆弦长解题思路---垂定定理（1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离（3）利用弦长公式【举一反三】1．圆C：x2+y2−2x=0被直线y=❑√3x截得的线段长为（）A．2B．❑√3C．1D．❑√2【答案】C【解析】圆C：x2+y2−2x=0的圆心为(1,0)，半径为1圆心到直线y=❑√3x的距离为d=¿❑√3∨¿❑√3+1=❑√32¿，弦长为2•❑√1−(❑√32)2=1，故选C。2.圆C：x2+y2−2x=0被直线y=x截得的线段长为（）A．2B．❑√3C．1D...
