北京市朝阳区高三统一练习二数学理科答案2009.5一、选择题:题号12345678答案BDACDADA二、填空题:(9);(10)2;(11);(12)16,;(13)15;(14).三、解答题:(15)解:（Ⅰ）因为因为函数的最小正周期为,且,故.………………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，.由得，,所以.又因为,所以,所以,即.又因为,且，所以.由余弦定理得.用心爱心专心解得（舍负），所以.………………………13分(16)证明：（Ⅰ）因为底面，所以是与平面所成的角.由已知，所以.易求得，，又因为，所以，所以.因为底面，平面,所以.由于，所以平面.………………………4分解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面.又因为平面,所以平面平面，过作于，（如图）则平面，所以线段的长度为点到平面的距离.在中，易求得,所以.所以点到平面的距离为.………………………9分（Ⅲ）设为中点.连结，由于底面，且平面，则平面平面.因为，所以平面.过作，垂足为，连结，由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角.容易证明∽，则，因为，，，所以.在中，因为，所以，所以二面角的大小为.………………………14分解法二:用心爱心专心HSAPABACADAAQRSAPABACADAA因为底面，所以是与平面所成的角.由已知，所以.建立空间直角坐标系（如图）.由已知，为中点.于是、、、、.（Ⅰ）易求得，，.因为,,所以，.因为，所以平面.………………………4分（Ⅱ）设平面的法向量为，由得解得，所以.又因为,所以点到平面的距离.………………………9分（Ⅲ）因为平面，所以是平面的法向量，易得.由（Ⅱ）知平面的法向量，所以.所以二面角的大小为.………………………14分(17)解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．用心爱心专心zDAyDAxDASAPABACADAA所以，．答：三次取球中恰有2个红球的概率为．………………4分（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则整理得：，解得n=3（舍）或n=4．所以，红球的个数为3个．………………………8分（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且所以的分布列为23456P所以，………………………13分(18)解：（Ⅰ）双曲线的右准线为，渐近线为.因为右准线与一条渐近线的交点坐标为，所以解得．于是，双曲线的方程为．………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点的坐标分别为，右准线为．用心爱心专心当直线斜率不存在时，点的坐标分别为，则直线方程分别为，令，得的坐标分别为，此时．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得．因为直线与双曲线交于两点，所以，，解得．设两点坐标分别为，则，．则直线方程分别为，令，得的坐标分别为，所以．用心爱心专心所以，为定值．………………………13分(19)解：(Ⅰ)因为点在直线（为与无关的正实数）上，所以，即有．当时，．由，解得，所以．当①②①－②，得，整理得．综上所述，知，因此是等比数列．…………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从而，所以．因此，是等差数列，并且．所以，．………………………10分用心爱心专心(Ⅲ)由(Ⅱ)知，则．将用二项式定理展开，共有项，其第项为，同理，用二项式定理展开，共有项，第项为，其前项中的第项为，由，得又，∴．………………………13分(20)(Ⅰ)解：因为，令，解得，令，解得，所以函数在上递减，上递增，所以的最小值为．………………………3分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在取得最小值，所以，即两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立．由得，，，，…用心爱心专心，．将上式相乘得．………………………9分（Ⅲ）设.则．所以当时，；当时，．因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．设与存在“分界线”，方程为.由在恒成立，则在恒成立.所以成立.因此.下面证明成立.设，.所以当时，；当时，.因此时取得最大值0，则成立.所以，.………………………14分用心爱心专心
