高考数学 热点难点突破技巧 第04讲 导数中不等式的证明问题的处理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第04讲：导数中不等式的证明问题的处理【知识要点】导数中不等式的证明，是历年高考的热点、重点和难点，但是还是有章可循的.常用的方法有：直接求函数的最值、构造函数求函数的最值、构造函数不等式、比较两边函数最值等.【方法讲评】方法一直接求函数的最值使用情景恒成立或恒成立解题步骤一般先求函数最小（大）值，再证明或.【例1】已知函数．（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数；（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．（ⅰ）时，，所以取得极小值，是的一个极小值点．（ⅱ）时，即时，令，得显然，，所以在取得极小值，有一个极小值点．（ⅲ）时，时，即时，，在是减函数，无极值点．当时，，令，得当和时，时，，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点．综上可知：（ⅰ）时，仅有一个极值点；（ⅱ）当时，无极值点；（ⅲ）当时，有两个极值点．设，所以时，是减函数，，则所以得证．【点评】本题的第（2）问就是证明，所以要构造函，，再利用导数求函数的单调性和最小值即可.【例2】（2016年全国Ⅱ高考）(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．【解析】⑴证明： 当时，∴在上单调递增∴时，∴∴．【点评】（1）本题第一问证明不等式，要证明函数，不是很方便.要注意观察，当时，，所以可以把不等式的两边同时除以，得，即证明函数.（2）我们在解答题目时，要注意观察题目，寻找它们之间的内部联系，从而找到解题途径.【反馈检测1】【2017课标3，文21】已知函数（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．【反馈检测2】（2016年全国高考III卷）设函数．（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.方法二构造函数求最值使用情景恒成立或恒成立解题步骤转化成证明【例3】已知是自然对数的底数,.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时,求证：.（2）设,则.设,则在内单调递增,当时,.即,时,.当时,在内单调递增.当,时,,即【点评】（1）本题第2问证明，不能理解为左边函数的最小值不大于右边函数的最大值，因为不等式两边的自变量都是，所以它表示当两个函数取相同的自变量时，总是有.(2)这种问题，只好构造函数，求函数的单调性，求函数的最小值，再证明.(3)在本质上，这种方法和第一种方法是一样的，都是转化成函数的最值.【反馈检测3】已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.【反馈检测4】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设是的两个零点，证明.方法三构造函数不等式使用情景一般与数列求和和数列不等式证明有关.解题步骤一般先观察证明的不等式和已知或前面的结论，构造一个函数不等式，再给赋值，得到一个与有关的不等式，再把这个不等式作为通项，对不等式求和，再分析解答.【例4】已知函数.（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：.【解析】（1），当时，在上恒成立，所以在单调递增，此时无极值点.当时，，在上的变化情况如下表：1+-+递增极大值递减极小值递增由此表可知在和上单调递增，在上单调递减.为极大值点，为极小值点.（3）由（2）知，即， ，∴，令，则，∴∴∴不等式成立.【点评】(1)本题如果利用第二种方法，构造函数求最值，比较困难，不是很适宜，因为这个函数很复杂.（2）注意观察左边函数是数列的求和，只能把左边数列的通项先进行放缩，才能求和.怎么放缩，只能利用前面的条件构造一个恰当的不等式，再给赋值把数列的通项进行放缩，再对不等式求和，从而达到解题目标.【反馈检测5】设，曲线在点处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）求证：．【反馈检测6】已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：方法四比较两边函数的最值使用情景或，但是不宜按照方法二构造函数求最值.解题步骤证明【例5】已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）求证：当时，．【解析】（1）由题得，．令，则．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减．∴在...