一、平面向量的建系坐标化应用二、平面向量中三点共线问题培优点八平面向量例1：在中，，边上的高为，则的最小值为．【答案】【解析】以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示平面直角的坐标系，则，，，即，，，故当时，取得最小值为，此时．例2：设，是两个不共线的单位向量，若满足，且，则当三、平面向量与三角形的四心问题最小时，在与的夹角的余弦值为．【答案】【解析】作，，， ，且，∴三点共线， ，，∴如图所示，当时，最小，又 ，为单位向量，∴，即与的夹角的余弦值为．例3：已知，，是平面内不共线三点，是的外心，动点满足四、平面向量与三角函数结合，则的轨迹一定通过的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心【答案】D【解析】取边的中点，则，由，可得，所以，即点的轨迹为三角形中边上的中线，故选D．例4：已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且．（1）求函数的最小正周期；（2）的图象经过点，求函数在区间上的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，， 直线是图象的一条对称轴，∴，解得，又 ，，∴，，即的最小正周期是．（2） 图象过点，∴，即，故，对点增分集训 ，∴，即，可得，故函数在上的取值范围为．一、选择题1．已知向量，其中，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，∴，又 ，∴，即的最小值为．2．在中，为的重心，过作直线分别交直线，于点，，设，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 为的重心，∴， ，，∴，又 ，，三点共线，∴，解得．3．若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】B【解析】 ，，∴原式化为，即对角线构成平行四边形为矩形，∴为直角三角形．4．已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ，，∴∴，当时取等号．5．已知非零向量与满足且，则为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形【答案】D【解析】 ，∴的角平分线与垂直，即，又 ，∴，即，故三角形为等边三角形．6．在中，，线段上的一点，且，则的最小值时，的模为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 ，∴， ，∴， 三点共线，∴，即，当且仅当，即，时取等号，∴，可得．7．在平面内有和点，若，则点是的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】D【解析】 ，，，∴，即，可得，故是的外心．8．是平面上定点，是平面内不共线三点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，所以与的方向相同，由，可得，所以点在上移动，故的轨迹一定是通过的内心，故选B．9．已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足，，则动点一定通过的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】D【解析】 ，∴，可得，即点在边的高上，故点的轨迹经过的垂心．10．在平行四边形中，分别是，的中点，交于点，记，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，分别是，的中点， 三点共线，∴存在实数，使得， 三点共线，∴存在实数，且，使得，即，解得，，，故．11．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，的垂线为轴，建立坐标系，设，，，则，，，，，，，， ，，∴，，解得，，即．12．已知是的外心，，，，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立直角坐标系，则，，，的中垂线为，的中垂线为，求出两直线的交点坐标即圆心坐标，∴，，， ，∴，，解得，，即（当且仅当，即时，取等号）．二、填空题13．设，向量，，若，则．【答案】【解析】 向量，∴，又 ，∴，即．14．是所在平面上的一点，若，则是三角形．【答案】等腰【解析】 ，．∴为等腰三角形．15．设，，与的夹角为，则的最小值为．【答案】【解析】 ，∴，又 与的夹角为，可作，，，如图所示，令， ，∴三点共线，由图可知当时，的值...
