第二讲椭圆、双曲线、抛物线(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为()A.B.C.1D.【解析】选B.因为抛物线y=x2的焦点为(0,1),双曲线y2-=1的渐近线的方程为y=±x,即±x-y=0,所以抛物线y=x2的焦点到双曲线y2-=1的渐近线的距离为d==.2.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于()A.2B.2或C.2或6D.2或8【解析】选D.焦点在x轴时,a2=,b2=,根据e==⇒=⇒=⇒=,即=⇒m=2,焦点在y轴时,a2=,b2=,即=⇒m=8,所以m等于2或8.3.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,B为虚轴的上端点,若直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,则C的离心率为()A.B.C.-1D.【解析】选B.因为直线FB的斜率为-,双曲线C的一条渐近线的斜率为,又因为直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,所以·=-1,所以c2-a2=b2=ac,两边都除以a2,得e2-e-1=0,因为e>1,所以e=.4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.由已知可得c=2,双曲线渐近线方程为y=±x,即ay±bx=0,a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),半径r=,若双曲线渐近线与圆方程相切,则d====,所以b=,所以b2=6,c2=8,a2=2,所以双曲线方程为-=1.5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P是抛物线C上一点,过点P作l的垂线,垂足为A,准线l与x轴的交点设为B,若∠BAF=30°,且△APF的面积为12,则以PF为直径的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=12或(x-2)2+(y-3)2=12B.(x-3)2+(y+2)2=12或(x-3)2+(y-2)2=12C.(x-2)2+(y+3)2=8或(x-2)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y+2)2=8或(x-3)2+(y-2)2=8【解析】选A.作出辅助图形如图所示,因为∠BAF=30°,故∠AFB=60°=∠PAF,由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,故△APF为等边三角形,因为△APF的面积为12,故|PF|=|PA|=|AF|=4,而|BF|=|AF|=2=p,故点P的横坐标为|PA|-=3,代入y2=4x中,解得y=±6,故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y±3)2=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,若椭圆C上存在两点P,Q满足=2,则椭圆C的离心率的取值范围是____________.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直线PF:y=k(x+c).因为P,Q满足=2,所以y1=-2y2.①由得(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,y1+y2=,②y1y2=,③由①②得y1=,y2=,代入③得b2+a2k2=8c2⇒8c2≥b2=a2-c2⇒9c2≥a2⇒≥,所以椭圆C的离心率的取值范围是.答案:7.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为____________.【解析】由题意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|①,又由椭圆的定义知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a②,联立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a,所以=|AB||AF2|sin60°=4,所以a=3,|F1F2|=|AB|=2,所以c=,所以b2=a2-c2=6,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=18.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N两点,且|MN|=8,则线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为____________.【解析】分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,即×(|MP|+|NQ|)=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A,B,|AB|=,离心率为.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点A作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆交于另外一点C,求△ABC面积的最大值,并求此时直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得所以,椭圆方程为+y2=1.(2)kAB=-,设与AB平行的椭圆的切线方程为y=-x+m,联立方程组得消去y得x2-2mx+2m2-2=0,①Δ=4m2-4(2m2-2)=0,解得m=±.因为k>0,所以m=-.代入到①中得x=-,代入到y=-x-得y=-,所以当取C的坐标是时,△ABC的面积最大.此时C点到AB的距离为d=,S△ABC=××=+1.此时,直线l的方程是y=x-+1.10.已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,点M到抛物线C的焦点F的距离为.(1)求m的值.(2)若直线y=kx+2与x轴交于点N,与抛物线C交于A,B,且=2,求k的值.【解析】(1)由已知:1+=,所以p=3.所以抛物线方程:y2=6x,把M(1,m)代入,得:m=±.(2)由已知k≠0,N,设A...
