第十六讲定积分与微积分一．定积分的概念（1）定积分的概念一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分的几何意义.（3）定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：【套路秘籍】---千里之行始于足下；②；③（其中）.二．微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了方便，我们常常把记成，即.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一利用定积分的几何意义求曲线的面积【例1】（1）定积分∫01❑√1−x2的值等于。（2）已知f(x)是偶函数，且∫05f(x)dx=6，则∫−55f(x)dx=¿______.(3)xdx=。(4)cosxdx=。【答案】（1）π4（2）12(3)0;(4)0【解析】（1）由y=❑√1−x2得x2+y2=1x∈[0,1]，根据定积分的意义可知，扇形的面积S=14×π×12=π4即为所求.（2） f（x）是偶函数∴∫−55f(x)dx＝2∫05f(x)dx又 ∫05f(x)dx＝6，∴∫−55f(x)dx＝12．故答案为：12．(3)如图①，xdx＝－A1＋A1＝0.(4)如图②，cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.【套路总结】1.利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.2.对于简单图形的面积求解，我们可以直接运用定积分的几何意义，此时，（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.3.设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则.【举一反三】1．定积分∫−aa❑√a2−x2dx等于。【答案】12πa2【解析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，所以S=12(πa2)=12πa2.2．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．【答案】【解析】由定积分的几何意义知： f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；＝0(如图(1)所示)；xdx＝(1＋π)(π－1)＝(如图(2)所示)．∴f(x)dx＝x5dx＋xdx＋＝xdx＝．3.利用定积分的几何意义求，其中.【答案】见解析【解析】. 为奇函数，∴.利用定积分的几何意义，如图，∴，，故.考向二微积分定理的运用【例2】计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【举一反三】1．∫−10(1−2x)(1−3x2)dx=¿___________【答案】−12【解析】∫−10(1−2x)(1−3x2)dx=∫−10(1−3x2−2x+6x3)dx=x−x3−x2+32x4¿−10=−122．∫-11（❑√1−x2+x）dx=¿______________【答案】π2【解析】由定积分的几何意义知∫-11❑√1-x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即∫-11❑√1-x2dx=π2，∴∫-11(❑√1-x2+x)dx=∫-11❑√1-x2dx+∫-11xdx=π2+x22|-11=π23．∫−11（x2+❑√1−x2¿dx=¿____________.【答案】23+π2【解析】原式化为∫−11x2dx+¿∫−11❑√1−x2dx¿，∫−11x2=13x3¿−11=23，根据定积分的几何意义可知，∫−11❑√1−x2等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的一半，即∫−11❑√1−x2=π2，所以∫−11(x2+❑√1−x2)dx=23+π2，故答案为23+π2.4．∫13(x−1x2)dx=¿________．【答案】103【解析】∫13(x−1x2)dx=12x2+1x¿13=(12×9+13)−(12+1)=103，故答案为：103.考点三积分在几何中的运用【例3】求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）.【答案】1【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.解方程组，可得.故平面图形的面积为=1.所以所求图形的面积为1【套路总结】（1）定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的.（2）若图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间...
