第二讲不等式选讲1.已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|+1;(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.解析:(1)∵f(x)<|x|+1,∴|2x-1|<|x|+1,即或或得≤x<2或0<x<或无解.故不等式f(x)<|x|+1的解集为{x|0<x<2}.(2)证明:f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|≤2×+=<1.2.(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=ƒ(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,ƒ(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解析:(1)ƒ(x)=y=ƒ(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=ƒ(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,ƒ(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.3.(2018·福州四校联考)(1)求不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集;(2)设a,b均为正数,h=max,证明:h≥2.解析:(1)记f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2<-2x-1<0,解得-<x<,则不等式的解集为(-,).(2)证明:h≥,h≥,h≥,h3≥≥=8,当且仅当a=b时取等号,∴h≥2.4.(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)=|ax-1|-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点,求实数a的取值范围.解析:(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x,∴3x-1<-x或3x-1>x,解得x>或x<,故f(x)>0的解集为{x|x<或x>}.(2)当a>0时,f(x)=要使函数f(x)的图象与x轴无交点,只需得1≤a<2;当a=0时,f(x)=2x+1,函数f(x)的图象与x轴有交点;当a<0时,f(x)=要使函数f(x)的图象与x轴无交点,只需此时无解.综上可知,当1≤a<2时,函数f(x)的图象与x轴无交点.