第二讲不等式选讲1．已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)＜1.解析：(1)∵f(x)＜|x|＋1，∴|2x－1|＜|x|＋1，即或或得≤x＜2或0＜x＜或无解．故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝＜1.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝ƒ(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，ƒ(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解析：(1)ƒ(x)＝y＝ƒ(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝ƒ(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，ƒ(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.3．(2018·福州四校联考)(1)求不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集；(2)设a，b均为正数，h＝max，证明：h≥2.解析：(1)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜，则不等式的解集为(－，)．(2)证明：h≥，h≥，h≥，h3≥≥＝8，当且仅当a＝b时取等号，∴h≥2.4．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.(1)当a＝3时，求不等式f(x)＞0的解集；(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x＞0，即|3x－1|＞x，∴3x－1＜－x或3x－1＞x，解得x＞或x＜，故f(x)＞0的解集为{x|x＜或x＞}．(2)当a＞0时，f(x)＝要使函数f(x)的图象与x轴无交点，只需得1≤a＜2；当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点；当a＜0时，f(x)＝要使函数f(x)的图象与x轴无交点，只需此时无解．综上可知，当1≤a＜2时，函数f(x)的图象与x轴无交点．
