第1课时均值不等式[A基础达标]1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，即＋≥2成立．2.(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.C．3D.解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，所以≤＝.即(－6≤a≤3)的最大值为.3．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选D.因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．故选D.4．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是()A．3B．3－2C．3－2D．－1解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．5．设x＞0，则y＝x＋－的最小值为()A．0B.C．1D.解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以y＝x＋－的最小值为0.6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝.当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.答案：7．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，所以＋＝＋＝4＋≥8，当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时取等号．答案：88．给出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③≥2；④>xy；⑤≥.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；当x＝y时，＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．答案：②9．已知y＝x＋.(1)已知x＞0，求y的最小值；(2)已知x＜0，求y的最大值．解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以y＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.10．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；(2)已知x＞0，求y＝的最大值．解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，由均值不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立，于是－≤－2，－＋7≤7－2，故y的最大值是7－2.(2)y＝＝.因为x＞0，所以x＋≥2＝2，所以0＜y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.[B能力提升]11．若0＜x＜，则y＝x的最大值为()A．1B.C.D.解析：选C.因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C.12．已知x≥，则y＝有()A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1解析：选D.y＝＝＝，因为x≥，所以x－2＞0，所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.13．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.(1)求ab的最小值；(2)求a＋2b的最小值．解：因为2a＋b＝ab，所以＋＝1.(1)因为a>0，b>0；所以1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号；所以ab≥8，即ab的最小值为8.(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号；所以a＋2b的最小值为9.14．已知a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，所以a2＋b2的最小值为1.(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.[C拓展探究]15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．解：因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.由得或故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
