专题四函数、不等式中的恒成立问题1．(2019年天津)已知a∈R，设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为()A．[0,1]B．[0,2]C．[0，e]D．[1，e]2．(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A．[－1,2]B．(－1,2)C．[－2,1]D．(－2,1)3．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]4．设0＜a≤1，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝ax－lnx＋x2.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若a＝1，∀x1∈(1,2)，∃x2∈(1,2)，使得f(x1)－x＝mx2－mx(m≠0)，求实数m的取值范围．6．设函数f(x)＝－alnx－(a∈R)．(1)若函数f(x)在区间[1，e](e＝2.71828…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a的取值范围；(2)若在[1，e](e＝2.71828…为自然对数的底数)上存在一点x0，使得f(x0)<－－x0－成立，求实数a的取值范围．7．已知函数f(x)＝ax＋lnx＋1.(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)对任意的x＞0,f(x)≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．8．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝4处的切线相互平行，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)设g(x)＝x2－2x，对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)0恒成立；当a<1时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，∴0≤a<1.综上，a≥0，当x>1时，由f(x)＝x－alnx≥0恒成立，即a≤恒成立．设g(x)＝，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1e时，g′(x)>0，∴当x＝e时，g(x)有最小值为e，∴a≤e.综上0≤a≤e，故选C.2．A解析：由题意，得∀x1∈R，∃x2∈R，使得(－e－1)(a－2sinx2)＝－1，即函数y＝的值域为函数y＝a－2sinx2的值域的子集，从而(0,1)⊆[a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1⇒－1≤a≤2.故选A.3．C解析：不等式ax3－x2＋4x＋3≥0变形为ax3≥x2－4x－3.当x＝0时，0≥－3，故实数a的取值范围是R；当x∈(0,1]时，a≥恒成立，记f(x)＝，f′(x)＝＝－>0成立，故函数f(x)单调递增，f(x)max＝f(1)＝－6，故a≥－6；当x∈[－2,0)时，a≤恒成立，记f(x)＝，f′(x)＝＝－，当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,0)时，f′(x)>0.故f(x)min＝f(－1)＝－2，故a≤－2；综上所述，实数a的取值范围是[－6，－2]．4．[，1]解析：f′(x)＝1－＝，当0＜a≤1，且x∈[1，e]时，f′(x)＞0，∴f(x)在区间[1，e]上是增函数．∴f(x1)min＝f(1)＝1＋a2.又g′(x)＝1－(x＞0)，易求g′(x)＞0，∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，g(x2)max＝g(e)＝e－1.由条件知只需f(x1)min≥g(x2)max.即1＋a2≥e－1，∴a2≥e－2.∴a≥.∴≤a≤1.5．解：(1)依题意，f(x)＝－x－lnx＋x2，则f′(x)＝－1－＋2x＝＝. x∈(0，＋∞)，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.故当x＝1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)＝0，无极大值．(2)当a＝1时，f(x)＝x－lnx＋x2. ∀x1∈(1,2)，∃x2∈(1,2)，使得f(x1)－x＝mx2－mx(m≠0)，故lnx1－x1＝mx－mx2.设h(x)＝lnx－x在(1,2)上的值域为A，函数g(x)＝mx3－mx在(1,2)上的值域为B，当x∈(1,2)时，h′(x)＝－1<0，即函数h(x)在(1,2)上单调递减，故h(x)∈(ln2－2，－1)．g′(x)＝mx2－m＝m(x＋1)(x－1)．①当m<0时，g(x)在(1,2)上单调递减，此时g(x)的值域为B＝， A⊆B，又－>0>－1，故≤ln2－2，即m≤ln2－3；②当m>0时，g(x)在(1,2)上单调递增，此时g(x)的值域为B＝， A⊆B，又m>0>－1，故－≤ln2－2，故m≥－(ln2－2)＝3－ln2.综上所述，实数m的取值范围为∪.6．解：(1)f′(x)＝x－＝，其中x∈[1，e]．①当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又 f(1)＝0，函数f(x)在区间[1，e]上有唯...
