第2课时利用导数研究函数的极值、最值[A级基础巩固]1．函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－D．不存在解析：因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－.答案：C2．(2020·惠州调研)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝x·f′(x)的图象可能是()解析：因为函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值．当x>－2时，f′(x)>0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当x<－2时，f′(x)<0.所以当－20.因此函数y＝xf′(x)的图象可能为C项．答案：C3．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－21时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.1答案：A4．若函数y＝f(x)存在(n－1)(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为()A．2折函数B．3折函数C．4折函数D．5折函数解析：f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一个极值点，又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．答案：C5.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()(1)f(a)>f(e)>f(d)；(2)函数f(x)在(a，c)上递增，在(c，e)上递减；(3)f(x)的极值点为c，e；(4)f(x)的极大值为f(b)．A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)解析：由导数与函数单调性的关系知，当f′(x)>0时f(x)递增，f′(x)<0时f(x)递减，结合所给图象知，x∈(a，c)时，f′(x)>0，所以f(x)在(a，c)上单调递增，x∈(c，e)时，f′(x)<0，所以f(x)在(c，e)上单调递减，x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递增．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；所以f(x)的极值点为c，e.答案：BC6．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数解析式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为_____百万件．解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.故当x＝3时，该商品的年利润最大．答案：37．(2020·江南十校联考)已知x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为________．解析：由f(x)＝(x2＋ax)ex，得f′(x)＝(x2＋ax＋2x＋a)ex，因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax)ex的一个极值点，所以f′(1)＝(3＋2a)e＝0，解得a＝－.所以f′(x)＝ex，则f′(0)＝－.所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为－.答案：－8．(2020·湛江诊断检测)直线y＝b分别与直线y＝2x＋1和曲线y＝lnx相交于点2A、B，则|AB|的最小值为________．解：设两个交点分别为A，B(eb，b)，则|AB|＝eb－.令g(x)＝ex－(x>0)，则g′(x)＝ex－.由g′(x)＝0，得x＝－ln2.所以g(x)在区间(－∞，－ln2)单调递减，在区间(－ln2，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(－ln2)＝1＋.答案：1＋9．已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈时，h′(x)<0，...
