第30讲三角函数和其它知识的整合【知识要点】在高考中，三角函数主要和三角恒等变换的整合，和平面向量的整合，和解三角形的整合.【方法点评】题型一三角函数和三角恒等变换的整合解题方法主要利用同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等先化简函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质分析解答.【例1】已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值.（Ⅱ）解：由（1）可知又因为，所以由，得从而所以【点评】(1)三角函数和三角恒等变换的整合中，重要的公式有①二倍角公式：=.②降幂公式③辅助角公式：（2）三角恒等变换要注意三看（看角、看名和看式）和三变（变角、变名和变式）.【反馈检测1】函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值.题型二三角函数和平面向量的整合解题方法一般利用平面向量的线性运算公式化简三角函数，再利用三角函数的图像和性质分析解答.【例2】已知向量.（1）若，求的取值范围；（2）函数，若对任意，恒有,求的取值范围.（2）.【点评】三角函数和平面向量的整合时，主要掌握以下几个公式：①设，则，.②设=,=，则（(竖乘相加等于零).③设=,=，则||（斜乘相减等于零）【反馈检测2】若，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为1.（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的值.题型三三角函数和解三角形的整合解题方法一般利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换、三角函数的图像性质分析解答.【例3】已知函数的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.【解析】（Ⅰ）由周期得所以当时，，可得因为所以故由图像可得的单调递减区间为【点评】（1）本小题是求函数的解析式，可由“五点法”得结论，首选由图象得周期，再由周期可得，再由点结合的范围可求得，最后利用正弦函数的单调性可得的单调减区间；（2）代入条件可求得角，利用两角和的正弦公式可求得．【反馈检测3】在中，角的对边分别为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第30讲：三角函数和其它知识的整合参考答案【反馈检测1答案】（1）＝，函数的值域为[－2，2]；（2）＝.【反馈检测1详细解析】(1)由已知可得，＝2，又正三角形的高为2，从而，所以函数的周期＝4×2＝8，即＝8，＝.函数的值域为[－2，2]．【反馈检测2答案】（1）；（2）.【反馈检测2详细解析】由题意得，【反馈检测3答案】（1）；（2）.【反馈检测3详细解析】由,得,即,则,即.由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为.
