专题07三角恒等变换与解三角形1．若＝，则sinαcosα＝()A．－B．－C．－D.2．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝()A．－B．－C.D.【解析】选B.∵a⊥b，∴a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，∴sin＝.∴sin＝－sin＝－.3．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanA·tanB＝()A．4B.C．－4D．－【解析】选B.由条件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cosC＝0，所以3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0，所以3cosAcosB＋3sinAsinB－5cosAcosB＋5sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanA·tanB＝＝.4．已知sin＝，则cos的值是()A.B.C．－D．－【解析】选D.cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.【解析】选B.由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.6．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，则角B为()A.B.C.D.7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a＝3，B＝，则b＝________.【答案】【解析】由题意可得S＝acsinB，解得c＝1，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－3＝7，故b＝.8．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.【答案】－3【解析】∵tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tanx＝2，故tanx＝－2.所以＝＝＝－3.9．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sinα＋cosα的值为________．【答案】＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－，所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－＝.因为＜α＜，所以sinα＋cosα＞0，所以sinα＋cosα＝.10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f＝－，α∈，求sin的值．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，sinB＝sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos的值．12．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cosB＝，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－.因为D∈(0，π)，
