高三数学复习限时训练（171）1、设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________________．2、如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.3、曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________．4、设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，在P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.5、已知函数f(x)＝lnx＋2x2＋ax＋1是单调递增函数，则实数a的取值范围是________6、已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.7、若方程x3－3x＋a＝0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是________．8、已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则实数a＝________.9、设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(1)用t表示a，b，c；(2)若函数y＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，求实数t的取值范围．10、已知a>0，b∈R，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)，g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间[－1，＋∞)上恒成立．(1)求实数b的取值范围；(2)当b取最小值时，讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－1，＋∞)上的单调性．用心爱心专心1（本练习题选自苏州市2012届高三数学第二轮复习材料导数及其应用专项训练）高三数学复习限时训练（167）参考答案1、f(x)＝x2＋2x＋12、解析：f′(2)＝＝－，切线方程为y＝－x＋，∴f(2)＝.3、y＝x－1解析：y′＝3x2－2，k＝y′x＝1＝1，则切线方程y－0＝1·(x－1)，∴x－y－1＝0.4、∪解析：y′＝3x2－≥－，∴tanα≥－，0≤α＜π且α≠，结合正切函数图象可得答案．5、a≥－4解析：x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋4x＋a≥0恒成立，由基本不等式＋4x＋a≥4＋a，当且仅当x＝时取等号，∴a＋4≥0，∴a≥－4.6、32解析：f(x)＝x3－12x＋8，f′(x)＝3(x－2)(x＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴M＝24，m＝－8.7、(－2,2)解析：设f(x)＝x3－3x＋a，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)在x＝－1取极大值，在x＝1时取极小值，－2＜a＜2.8、4解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为，a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，设g(x)＝－，则g′(x)＝＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上，a＝4.9、解：(1)因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相用心爱心专心2同的切线，所以f′(t)＝g′(t)而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.(2)y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，y′＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)，因为函数y＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以即解得t≤－9或t≥3.所以t的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10、解：(1)∵f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，∴f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b.x∈[－1，＋∞)，f′(x)g′(x)≥0，即x∈[－1，＋∞)，(3x2＋a)(2x＋b)≥0，∵a＞0，∴3x2＋a＞0，∴x∈[－1，＋∞)，2x＋b≥0，即∴x∈[－1，＋∞)，b≥－2x，∴b≥2，则所求实数b的取值范围是[2，＋∞)．(2)b的最小值为2，h(x)＝x3－x2＋ax－2x，h′(x)＝3x2－2x＋a－2＝32＋a－.当a≥时，h′(x)＝3x2－2x＋a－2≥0对x∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a＜时，由h′(x)＝3x2－2x＋a－2＝0得，x＝＞－1，∴h(x)在上单调增，在上单调减，在上单调增．用心爱心专心3
