高中数学变换观点证明不等式□河南郭培军不等式证明的技巧,巧就巧在一个“变”字上。对同一个问题,要善于从新的角度,以新的方法去观察分析是一种创造性的思维活动。往往可以突破思维定势束缚,从而得到新颖、别致的解法。一、函数观点的应用例1.求证:ababab221。证明:令函数faababab()221即faababb()()2211·∴判别式bbbb141313830222∴函数fx()的图象在x轴上方,fx()恒大于0,结论成立。例2.已知aabac20,求证:bac24。证明:当c=0时,不等式显然成立。当c≠0时,由已知可得aabc()0∴a与abc异号设函数fxcxbxa()2∴fafabcf()()()010,,与f()1分别在x轴的上、下方∴函数fx()的图象与x轴必有两个不同的交点∴判别式bac240,故不等式得证二、方程观点的应用例3.设abcabc11222,,且abc,求证:130c。证明:∵,∴abcabc11因此,ababcc222212而abc2221,所以abcc2。∴a,b为方程xcxcc2210()的两个不相等实根,且两根都大于c。即方程xcxcc2210在c,有两个不相等的实数根。∴0121022ccfcccccc()()解得,130c评析:方程、函数、不等式三位一体,相辅相成是数学变换中的常见形式,尤其是二次问题(二次不等式、二次方程、二次函数),希望同学们牢固掌握,善于应用。三、三角函数观点的应用用心爱心专心例4.函数fxaxb(),且有26322ab,求证:对任意的x11,,恒有fx()2。证明:由26322ab,得ab2232121∴可设ab3212cossin,∴fxx()cossin3212函数fxax()1,在11,上为单调函数。∴fx()介于f()1与f()1之间,f()sin12322,,f()sin12322,∴当11x时,恒有fx()2评析:三角函数也是证明不等式的常用方法。[练一练]1.求证:xxzzyxyz2230。2.已知m0,求证:11121211mmmm…。3.设ab00,,且ab2221,求ab12的最大值。提示:1.应用函数观点。2.构造函数,利用函数的单调性。3.ababab2222222121222122298用心爱心专心