题组训练71专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题1．(2017·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A.B．6C．8D．12答案B解析由题意得F(－1，0)，设P(x，y)，则OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故＋＝1，所以x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)2＋2取得最大值6，即OP·FP的最大值为6.2．(2018·四川成都七中模拟)若直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F交抛物线C于A，B两点，则＋的取值范围为()A．{1}B．(0，1]C．[1，＋∞)D．[，1]答案A解析由题意知抛物线C：y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.设过点F的直线l的斜率k存在，则直线的方程为y＝k(x－1)．代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴＋＝＋＝＝1.当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2，∴＋＝1.故选A.3．(2018·云南曲靖一中月考)已知点P为圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为6.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则|AB|的最小值是________．答案2解析由C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，由圆上动点P到某直线l的最大距离为6，可知圆心C(1，2)到直线l的距离为4.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则要使|AB|最小，需AC⊥l，∴|AB|的最小值是＝2.4．(2018·河南百校联盟质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积为2，且经过点(1，)．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x＝2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2.求S1S2的最大值．答案(1)＋y2＝1(2)解析(1) (1，)在椭圆C上，∴＋＝1，又 椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2，∴×2a×2b＝2，ab＝，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．则当t≠0时，直线OM的方程为y＝x.所以kAB＝－，直线AB的方程为y＝－(x－1)，即2x＋ty－2＝0(t≠0)，由得(8＋t2)x2－16x＋8－2t2＝0.则Δ＝(－16)2－4(8＋t2)(8－2t2)＝8(t4＋4t2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝·＝·＝.又|OM|＝，∴S1＝|OM|·|AB|＝·＝.由得xN＝，∴S2＝×1×＝.∴S1S2＝·＝＝<.当t＝0时，直线l：x＝1，|AB|＝，S1＝××2＝，S2＝×1×1＝，S1S2＝.综上，S1S2的最大值为.5．(2018·山东潍坊期末)已知点F1为圆(x＋1)2＋y2＝16的圆心，N为圆F1上一动点，F2(1，0)，点M，P分别是线段F1N，F2N上的点，且满足MP·F2N＝0，F2N＝2F2P.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过点F2的直线l(与x轴不重合)与轨迹E交于A，C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交轨迹E于B点(O为坐标原点)，求四边形OABC的面积S的最小值．答案(1)＋＝1(2)3解析(1)由题意，MP垂直平分F2N，∴|MF1|＋|MF2|＝4，∴动点M的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a＝4，焦距2c＝2，所以a＝2，c＝1，b2＝3.轨迹E的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)，直线AC的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，可得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.由弦长公式可得|AC|＝|y1－y2|＝，又y0＝－，∴G(，－)．直线OG的方程为y＝－x，代入椭圆方程得x2＝，∴B(，－)，B到直线AC的距离d1＝，O到直线AC的距离d2＝，∴SOABC＝|AC|(d1＋d2)＝6≥3，当m＝0时取得最小值3.∴四边形OABC的面积的最小值为3.6．(2018·河南新乡一调)设O为坐标原点，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，抛物线C2：x2＝－ay的准线方程为y＝.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点P，Q，若O在以PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围．答案(1)＋y2＝1(2)k∈(－2，－)∪(，2)解析(1)由题意得＝，∴a＝2，故抛物线C2的方程为x2＝－2y.又e＝，∴c＝，∴b＝1，从而椭圆C1的方程为＋y2...
