解析几何创新试题选编1．我们把离心率为黄金比512的椭圆称为“优美椭圆”．设22221(0)xyabab为“优美椭圆”，FA，分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则ABF等于．解：依题意，512ca，222222515122bacaaaac，故ABF△为直角三角形，且ABF为直角．2．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心1O且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线．（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积．解:（1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：π2πlR，即11cos2RACOl，所以母线和底面所成的角为60°．（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则1OOAB∥且112OOAB．如图1，在截面MON内，以1OO所在有向直线为y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为22xpy，点N的坐标为()RR，，代入方程得22()RPR，得224RplRp，．∴圆锥的全面积为2222ππ8π4π12πRlRppp．注：题中出现了一个与抛物线有关的条件，利用解析几何思想，通过建立坐标系，写出抛物线方程，研究曲线方程来求解相关的量，圆锥的全面积也就迎刃而解了．3．我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，8PA公里，10PB公里，60APB°．是否存在点M，使快艇沿航线PAM或PBM的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．解：建立直角坐标系（如图2），2MAMB，点M的轨迹为双曲线的一部分，6410080221AB，即212120acb，，．用心爱心专心点M的轨迹方程为221(10)20yxxy，．注：在以后的学习中创新型试题会更多地遇到，但这类问题主要是基础知识的综合和基本性质的应用．用心爱心专心
