课时作业57定点、定值、探究性问题1．(2020·昆明市教学检测)已知点M(，0)，P是圆N：(x＋)2＋y2＝16上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)圆N的圆心N(－，0)，半径r＝4，由垂直平分线的性质知|QP|＝|QM|，故|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝r＝4>|MN|，由椭圆的定义知，点Q的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，设C：＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则2a＝4，a＝2，c＝，b＝＝1，所以C的方程为＋y2＝1.(2)由已知得D(0,1)，由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由AD⊥BD得DA·DB＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，即＝0，所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－.①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．②当m＝－时，显然有Δ>0，直线l经过定点(0，－)．2．(2020·长沙市统考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．解：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)，所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.联立得得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，所以F1M⊥F1N，故∠MF1N为定值.(注：可以先通过k＝0计算出此时∠MF1N＝，再验证一般性结论)3．(2020·洛阳市联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求证：点(m，k)在定圆上．解：(1)椭圆C的焦距为2c，由已知e＝＝，2b＝2，a2＝b2＋c2，得b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1.①由根与系数的关系得，x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，∴(4k2－5)×＋4km·＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝.②由①②得0≤m2<，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2.点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程．(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，所以2bc＝2.因为|A1A2|＝2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝，所以长轴A1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设点P(x0，y0)，则＋y＝1⇒y＝1－.圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋y，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0①，圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0②，①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，所以点F1到公共弦MN的距离d＝＝＝＝，则|MN|＝2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.5．(2020·江西新余月考)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2，)在椭圆C上，且PF⊥x轴．(1)求椭圆C的方程．(2)如图，过点F的直线l分别交椭圆C于A，B两点，交...
