概念及性质问题汇总例1、根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线116y9x22有共同渐近线，且过点（-3，32）；（2）与双曲线14y16x22有公共焦点，且过点（23，2）。分析：法一：（1）双曲线116y9x22的渐近线为x34y令x=-3，y=±4，因432，故点（-3，32）在射线x34y（x≤0）及x轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为1byax2222，（a>0，b>0）1b)32(a)3(34ab2222解之得：4b49a22∴双曲线方程为14y49x22（2）设双曲线方程为1byax2222（a>0，b>0）则1b2a)23(20ba222222解之得：8b12a22∴双曲线方程为18y12x22法二：（1）设双曲线方程为16y9x22（λ≠0）∴16)32(9)3(22∴41用心爱心专心1∴双曲线方程为14y49x22（3）设双曲线方程为1k4yk16x220k40k16∴1k42k16)23(22解之得：k=4∴双曲线方程为18y12x22评注：与双曲线1byax2222共渐近线的双曲线方程为2222byax（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线1byax2222共焦点的双曲线为1kbykax2222（a2+k>0，b2-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例2、设F1、F2为椭圆14y9x22的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF||PF|21的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当∠PF2F1=900时，由5c)c2(|PF||PF|6|PF||PF|22222121得：314|PF|1，34|PF|2∴27|PF||PF|21当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2∴2|PF||PF|21法二：当∠PF2F1=900，5xP∴34yP∴P（34,5）又F2（5，0）用心爱心专心2∴|PF2|=34∴|PF1|=2a-|PF2|=314当∠F1PF2=900，由14y9x)5(yx22222得：P（554,553）。下略。评注：由|PF1|>|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。分析：根据题意，从点P的轨迹着手 ||PM|-|PN||=2m∴点P轨迹为双曲线，方程为1m1ymx2222（|m|<1）①又y=±2x（x≠0）②①②联立得：2222m51)m1(mx将此式看成是222m51)m1(m关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m的取值范围。根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2∴2222mm51)m1(m又00∴55|m|且m≠0∴)55,0()0,55(m评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1满足；当斜率存在时，设：y=kx+b与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1用心爱心专心3∴11k|b|2∴b2=k2+1①由1y)1x(bkxy22得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），20221k1kb1x,k1)kb1(2xx∴y0=kx0+b=2k1bk M在⊙O上∴x02+y02=1∴(1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2②由①②得：332b33k或332b33k∴：332x33y或33233y法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；当y0≠0时，000y1xyxy代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1∴可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：200200x211xxx∴即2x03-x02-2x0+1=0解之得：x0=±1(舍)，x0=21∴y0=23。下略评注：不管...
