专题14二项式定理及数学归纳法1．在二项式n(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为()A．12B．8C．6D．42．设二项式n(∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则＝()A．2n－1＋3B．2(2n－1＋1)C．2n＋1D．1解析由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝也成等比数列，所以＝2n＋1，故选C.答案C3．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A．180B．90C．－5D．5解析(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝C210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝C22(－1)8＝180.故选A.答案A4．(x－y)8的展开式中，x6y2项的系数是()A．56B．－56C．28D．－28解析二项式的通项为Tr＋1＝Cx8－r(－y)r，令8－r＝6，即r＝2，得x6y2项的系数为C(－)2＝56.答案A5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项解析Tr＋1＝C()24－r＝Cx12－，故当r＝0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项．答案C6．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为()A．15B．－15C．30D．－30解析因为函数f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为4－(－2)＝6，即n＝6.展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－kk＝Cx6－2k(－1)k，由6－2k＝2，得k＝2，所以T3＝Cx2(－1)2＝15x2，即x2项的系数为15，选A.答案A7．的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．8．二项式的展开式的常数项是________(用数字作答)．解析∵＝[x＋(－x－1)]6，Tr＋1＝Cx6－r(－x－1)r＝(－1)rCx6－2r，当6－2r＝0则r＝3，常数项为T4＝(－1)3C＝－20.答案－209．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.解析∵Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r＝(－1)r26－rCx6－r，∴ar＋1＝(－1)r26－rC.∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×(－1)－1]6＝36.答案72910．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．解析设二项式(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1，则Tr＋1＝Cx5－r·yr，令r＝3，则含x2y3的项的系数是C＝10.答案1011．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析由等式两边对应项系数相等，即⇒a3＝10.答案1012．设二项式的展开式中常数项为A，则A＝________.13．若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．解析Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.答案214．的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答)．解析Tr＋1＝C··＝(－1)r·C·x·y，令得r＝4.所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C＝70.答案7015．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；(1)a0；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.
