专题08函数与方程1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。热点题型一判断函数零点所在的区间例1、(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)(2)设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】（1）C（2）D法二令f(x)＝0得x＝lnx。作出函数y＝x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点，故选D。【提分秘籍】确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0。若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。【举一反三】函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是()A.B.C．(1,2)D．(2,3)【答案】C热点题型二判断函数零点的个数例2、函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝x的解，作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝x的图象，由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点，故选B。【提分秘籍】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。【举一反三】函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】D热点题型三函数零点的应用例3．【2017江苏，20】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：;（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）.【解析】x+0–0+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（2）由（1）知，.【提分秘籍】函数零点的应用问题类型及解题思路(1)已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围。(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。(3)借助函数零点比较大小。要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小。【举一反三】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)【答案】C【2017江苏，20】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：;（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）.【解析】（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下x+0–0+极大值极小值故的极值点是.【2016高考山东文数】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像...
