数形结合直观快捷一、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．【例1】若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．【答案】【解析】当x＝0时，显然是方程的一个实数解；当x≠0时，方程＝kx2可化为＝(x＋4)|x|(x≠－4)，设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，由图，易得0<<4，解得k>.所以k的取值范围为.【类题通法】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．【对点训练】1．函数f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是________．【答案】2【解析】令f(x)＝0，则x2－4＝－x，分别作出函数g(x)＝x2－4，h(x)＝－x的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.2．(2017·成都一诊)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的所有实数解之和为________．【答案】－7【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cosπx|的图象如图所示．由图象知关于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的实数解有7个．不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式．【例2】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知00，得g(x)<0，由图知x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【类题通法】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【对点训练】1．设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．【答案】【解析】集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m＞0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞)．2．若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．【答案】【解析】作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.三、数形结合思想在解析几何中的应用构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.【例3】(2017·成都二诊)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A．B．C．2D...
