考点23数列求和及其运用【考纲要求】1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．【命题规律】数列求和及其运用是高考必考的，一般在解答题中也会出现.【典型高考试题变式】（一）公式求和例1.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求的通项公式；（2）求和：．【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.【变式1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．【解析】设等差数列的首项为、公差为d，则，所以，即，解得，，∴．而，所以数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，所以．【变式2】设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.（二）分组求和例2.【2016高考北京文数】已知是等差数列，是等差数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【解析】（1）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以（，，，）．（2）由（1）知，，．因此．从而数列的前项和．【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.【变式1】【2017四川巴中市“零诊”】在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，∴，∴，解得，∴数列的通项公式为；（2） 数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即，∴，∴当时，；当时，.【变式2】在公差为的等差数列{}和公比为的等比数列{}中,（1）求数列{}与{}的通项公式；（2）令，求数列{}的前项和．（三）裂项相消法求和例3.【2017课标3，文17】设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）令，则有，即.当时，.当时，①②得，即得到(n（2）令所以.【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.【变式1】【河北邯郸2017届9月联考，17】已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.【变式2】【2017广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考】为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）依题意有①当时，，得；当时，②有①②得，因为，∴，∴成等差数列，得.（2），.（四）错位相减求和例4.【2017山东卷】已知是各项均为正数的等比数列,且.（1）求数列的通项公式；（2）为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.【解析】（1）设的公比为，由题意知：.又，解得，所以.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表...
