第四讲两角和差与二倍角1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβtan(α－β)＝tan(α＋β)＝2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.三．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一公式的简单运用【例1】计算：（1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°（2）cos20°cos10°–sin160°sin10°(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°(4)；（5）（6）【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】（1）（2）（3）1（4）2＋（5）（6）【解析】（1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.（2）cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°(3) tan45°＝＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°∴原式＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.(4)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋；（5）＝＝＝＝.（6）原式＝＝＝＝.【举一反三】1.＝.【答案】【解析】＝＝＝＝.2.若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝.【答案】－【解析】 α是第三象限角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.3.tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝.【答案】【解析】 tan60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝－tan10°tan50°，∴原式＝－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝.4．化简等于。【答案】√3【解析】考向二凑角【例2】(1)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.（2）已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为．(3)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．【答案】（1）（2）1（3）【解析】（1）依题意得sinα＝＝，因为sin(α＋β)＝α，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.（2） tan＝，tan＝，∴tan(α＋β)＝tan＝＝＝1.（3）因为α为锐角，且cos＝，所以sin＝＝，所以sin＝sin2＝2sincos＝2××＝.【套路总结】（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等(3)凑角基本思路【举一反三】1.已知cosα＝，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tanβ的值为．【答案】－3【解析】 cosα＝，α∈(－π，0)，∴sinα＝－，∴tanα＝－2，故tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝－3.2已知sinα＝，α∈，则＝.【答案】－【解析】＝＝cosα－sinα， sinα＝，α∈，∴cosα＝－，∴原式＝－.3．已知cos(α+π4)=13，则sin2α=¿__________．【答案】79【解析】 cos(α+π4)=13∴cos(2α+π2)=2cos2(α+π4)−1=29−1=−79又cos(2α+π2)=−sin2α∴sin2α=79本题正确结果：794.已知cos＝，则cos－sin2＝.【答案】【解析】由题意可知cos－sin2＝－cos＋cos2－1＝－－.5.设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．【答案】【解析】 α为锐角且cos＝>0，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.考向三三角函数的恒等变化【例3】(1)化简：(0<θ<π)；(2)求值：－sin10°.(3)已知sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，则sin(α－β)＝.（4）已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为【答案】（1）－cosθ（2）（3）－（4）－【解析】(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ，故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝－sin10°...
