第四讲两角和差与二倍角1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβtan(α-β)=tan(α+β)=2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=.三.辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始考向一公式的简单运用【例1】计算:(1)sin347°cos148°+sin77°cos58°(2)cos20°cos10°–sin160°sin10°(3)tan15°+tan30°+tan15°tan30°(4);(5)(6)【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】(1)(2)(3)1(4)2+(5)(6)【解析】(1)sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58°=(-cos77°)·(-sin58°)+sin77°cos58°=sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)=sin135°=.(2)cos20°cos10°–sin160°sin10°=cos20°cos10°–sin20°sin10°=cos30°(3) tan45°==1,∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°∴原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1.(4)原式==tan(60°+15°)=tan75°=tan(30°+45°)===2+;(5)====.(6)原式====.【举一反三】1.=.【答案】【解析】====.2.若cosα=-,α是第三象限的角,则sin=.【答案】-【解析】 α是第三象限角,∴sinα=-=-,∴sin=-×+×=-.3.tan10°+tan50°+tan10°tan50°=.【答案】【解析】 tan60°=tan(10°+50°)=,∴tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°)=-tan10°tan50°,∴原式=-tan10°tan50°+tan10°tan50°=.4.化简等于。【答案】√3【解析】考向二凑角【例2】(1)设α,β都是锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=.(2)已知tan=,tan=,则tan(α+β)的值为.(3)设α为锐角,若cos=,则sin的值为.【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)依题意得sinα==,因为sin(α+β)=α,所以α+β∈,所以cos(α+β)=-.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.(2) tan=,tan=,∴tan(α+β)=tan===1.(3)因为α为锐角,且cos=,所以sin==,所以sin=sin2=2sincos=2××=.【套路总结】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等(3)凑角基本思路【举一反三】1.已知cosα=,α∈(-π,0),tan(α+β)=1,则tanβ的值为.【答案】-3【解析】 cosα=,α∈(-π,0),∴sinα=-,∴tanα=-2,故tanβ=tan[(α+β)-α]==-3.2已知sinα=,α∈,则=.【答案】-【解析】==cosα-sinα, sinα=,α∈,∴cosα=-,∴原式=-.3.已知cos(α+π4)=13,则sin2α=¿__________.【答案】79【解析】 cos(α+π4)=13∴cos(2α+π2)=2cos2(α+π4)−1=29−1=−79又cos(2α+π2)=−sin2α∴sin2α=79本题正确结果:794.已知cos=,则cos-sin2=.【答案】【解析】由题意可知cos-sin2=-cos+cos2-1=--.5.设α为锐角,若cos=,则sin的值为.【答案】【解析】 α为锐角且cos=>0,∴α+∈,∴sin=.∴sin=sin=sin2cos-cos2sin=sincos-=××-=-=.考向三三角函数的恒等变化【例3】(1)化简:(0<θ<π);(2)求值:-sin10°.(3)已知sinα+cosβ=,sinβ-cosα=,则sin(α-β)=.(4)已知α-β=,tanα-tanβ=3,则cos(α+β)的值为【答案】(1)-cosθ(2)(3)-(4)-【解析】(1)由θ∈(0,π),得0<<,∴cos>0,∴==2cos.又(1+sinθ+cosθ)==2cos=-2coscosθ,故原式==-cosθ.(2)原式=-sin10°...