专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线1．椭圆的定义．平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.(2)2a＞|F1F2|.1．双曲线的定义．平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2)2a＜|F1F2|.3.等轴双曲线．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．1．抛物线的定义．平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：1．曲线上点的坐标都是二元方程f(x，y)＝0的解(纯粹性)．2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C上的点(完备性)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(√)(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(√)(5)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)1．平面内到点A(0，1)、B(1，0)距离之和为2的点的轨迹为(A)A．椭圆B．一条射线C．两条射线D．一条线段解析：因为点到两定点AB距离之和为2＞|AB|＝，所以该点的轨迹为椭圆．故选A.2．以知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为9．解析：注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线性质|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．3．(2015·新课标Ⅰ卷)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(x－)2＋y2＝．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.4．(2015·北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．解析：双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a＞0，所以＝，所以a＝.答案：一、选择题1．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m等于(A)A.或B.C.D.或解析：若m＞2，则＝，解得m＝.若0＜m＜2，则＝，解得m＝.2.(2015·新课标Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(C)A．2B．8C．4D．10解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故选C.3．(2015·福建卷)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(B)A．11B．9C．5D．34．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(A)A.B.C．(1，2)D．(1，－2)解析：如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程l：x＝－1，点P到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|＝|PD|，显然D，P，Q共线时，|PD|＋|PQ|最小，即|PF|＋|PQ|最小．此时yP＝－1，代入抛物线方程知xp＝，∴P.5.(2014·江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(A)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：因为C：－＝1的渐近线为y＝±x，所以A(a，b)或A(a，－b)．因此OA＝c＝4，从而三角形OAC为正三角形，即tan60°＝，a＝2，b＝2，双曲线C的方程为－＝1.6．(2014·全国大纲卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(C)A．2B．2C．4D．4解析：由已知可知渐...
