灵活运用组合数的性质求和梁克强组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中,很多古老而又年轻的问题,有时百思不得其解,灵活运用组合数的性质:,却能化难为易,获得简捷明快的解法。一、排列数与组合数的求和例1.求证:(其中m、n均为正整数,且)。证明:根据组合数的性质:,。所以。例2.求和:。解:。二、自然数连乘积的求和例3.求和:。(其中m、n均为正整数)。分析:把求和式各项用相应的排列数与组合数表示出来,再用例1的结论即可求和。解:。例4.是否存在常数a,b,c使得等式:对一切正整数n都成立?并证明你的结论。分析:本题实质上是一个求和问题,若能把等式左边的各项用组合数表示,就可以用组合数求和的方法求解。解:因为,所以等式左边。用心爱心专心比较等式两边关于n的多项式对应项的系数得:,,即为所求。三、自然数方幂的求和有关自然数方幂的求和问题,是一个古老而有趣的问题,求和方法颇多,但求解过程却冗长而繁难,灵活运用组合数求和,则简捷明快。例5.求和:(其中n是正整数)。分析:关键是通项用组合数表示出来。由组合数定义及性质可得恒等式:,从而,,所以。推广:自然数方幂求和:(其中m、n均为正整数),当m的值不是很大时,可仿照例5的办法,把进行逐次降幂展开用组合数表示,再用例1的结论就不难求和了,利用待定系数法,即可用组合数表示。先设①分别令,2,3,…,m得m个方程,解得,,…,这m个待定常数,于是,可用组合数表示出来。然后,对①式的n取1到n求和即得:。四、几个自然数之积的求和例6.在集合中任取两个不同的正整数作积,求所有这些不同积的和。分析:为了求和,可采用构造递推式法,设所求和是,那么与有怎样的关系?依题意有:,即②显然,,。对递推式②,从1到n求和,即可得到:用心爱心专心。推广:从集合中任取r()个不同的自然数作积,求所有这些不同积的和。方法1:用递推法,设其和为,则,先求,再递推出。方法2:用待定系数法,求出中的r个待定常数,,…,。用心爱心专心