灵活运用组合数的性质求和梁克强组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中，很多古老而又年轻的问题，有时百思不得其解，灵活运用组合数的性质：，却能化难为易，获得简捷明快的解法。一、排列数与组合数的求和例1.求证：（其中m、n均为正整数，且）。证明：根据组合数的性质：，。所以。例2.求和：。解：。二、自然数连乘积的求和例3.求和：。（其中m、n均为正整数）。分析：把求和式各项用相应的排列数与组合数表示出来，再用例1的结论即可求和。解：。例4.是否存在常数a，b，c使得等式：对一切正整数n都成立？并证明你的结论。分析：本题实质上是一个求和问题，若能把等式左边的各项用组合数表示，就可以用组合数求和的方法求解。解：因为，所以等式左边。用心爱心专心比较等式两边关于n的多项式对应项的系数得：，，即为所求。三、自然数方幂的求和有关自然数方幂的求和问题，是一个古老而有趣的问题，求和方法颇多，但求解过程却冗长而繁难，灵活运用组合数求和，则简捷明快。例5.求和：（其中n是正整数）。分析：关键是通项用组合数表示出来。由组合数定义及性质可得恒等式：，从而，，所以。推广：自然数方幂求和：（其中m、n均为正整数），当m的值不是很大时，可仿照例5的办法，把进行逐次降幂展开用组合数表示，再用例1的结论就不难求和了，利用待定系数法，即可用组合数表示。先设①分别令，2，3，…，m得m个方程，解得，，…，这m个待定常数，于是，可用组合数表示出来。然后，对①式的n取1到n求和即得：。四、几个自然数之积的求和例6.在集合中任取两个不同的正整数作积，求所有这些不同积的和。分析：为了求和，可采用构造递推式法，设所求和是，那么与有怎样的关系？依题意有：，即②显然，，。对递推式②，从1到n求和，即可得到：用心爱心专心。推广：从集合中任取r（）个不同的自然数作积，求所有这些不同积的和。方法1：用递推法，设其和为，则，先求，再递推出。方法2：用待定系数法，求出中的r个待定常数，，…，。用心爱心专心
