天津市河北区2015届高考数学一模试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位,复数=()A.iB.iC.iD.i2.下列命题中,真命题的是()A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,﹣1<sinx<1C.∃x0∈R,<0D.∃x0∈R,tanx0=23.若某程序框图如图所示,则输出的P的值是()A.22B.27C.31D.564.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若点(a,b)在直线x(sinA﹣sinB)+ysinB=csinC上,则角C的值为()A.B.C.D.5.设实数x,y满足条件,则y﹣4x的最大值是()A.﹣4B.C.4D.76.已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,P(1,2)是双曲线C上点,且y=x是C的一条渐近线,则C的方程为()1A.2x2﹣=1B.﹣x2=1C.﹣x2=1或2x2﹣=1D.﹣x2=1或x2﹣=17.由曲线xy=1,直线y=x,x=3所围成封闭的平面图形的面积是()A.B.4﹣ln3C.4+ln3D.2﹣ln38.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[﹣1,1]时,f(x)=.若函数g(x)=,则函数y=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]上零点的个数是()A.7B.8C.9D.10二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上9.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为__________.10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.11.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,△ADC的外接圆交BC于点E,AB=2AC=6,EC=6,则AD的长为__________.12.在以O为极点的极坐标系中,若圆ρ=2cosθ与直线ρ(cosθ+sinθ)=a相切,且切点在第一象限,则实数a的值为__________.213.在△ABC中,E为AC上一点,且,P为BE上一点,且满足(m>0,n>0),则当取最小值时,向量=(,)的模为__________.14.已知,设x1,x2(x1<x2)是关于x的方程|2x﹣1|=k的两个实数根,x3,x4(x3<x4)是方程|2x﹣1|=的两个实数根,则(x4﹣x3)+(x2﹣x1)的最小值是__________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.设函数y=cos2x+2cos2(﹣x)﹣1,x∈R(1)求f(x)的最小正周期;(3)求f(x)在闭区间[﹣]上的最大值与最小值.16.某校从2014-2015学年高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛,学生来源人数如表:班别2014-2015学年高二(1)班2014-2015学年高二(2)班2014-2015学年高二(3)班2014-2015学年高二(4)班人数4635(I)从这18名学生中随机选出两名,求两人来自同一个班的概率;(Ⅱ)若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验,设其中来自2014-2015学年高二(1)班的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.17.如图,三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.(Ⅰ)求证:MC⊥AB;(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点P,使得MC⊥平面ABP?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.(Ⅲ)若点P为CC1的中点,求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.18.已知数列{an}满足a1=1,an+1=1﹣,bn=,其中n∈N*.(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.319.已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的弦长为1,如图,A,B是椭圆的左右顶点,M是椭圆上位于x轴上方的动点,直线AM,BM与直线l:x=4分别交于C,D两点.(Ⅰ)求椭圆G的标准方程;(Ⅱ)若|CD|=4,求点M的坐标;(Ⅲ)记△MAB和△MCD的面积分别为S1和S2,若λ=,求实数λ的取值范围.20.已知函数f(x)=﹣3x(a∈R).(Ⅰ)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(Ⅱ)当a>0时,试讨论函数y=f(x)在区间(﹣1,1)内的极值点的个数;(Ⅲ)对一切x∈(0,+∞),af′(x)+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立,求实数a的取值范围.天津市河北区2015届高考数学一模试卷(理科)...