第三讲分类讨论法思想思想方法解读分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；反比例函数y＝k/x(x≠0)的反比例系数k，正比例函数y＝kx的比例系数k，一次函数y＝kx＋b的斜率k与图象位置及函数单调性的关系；幂函数y＝xa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y＝ax及其反函数y＝logax中底数a＞1及a＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q＝1与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在的象限与三角函数的符号等．分类讨论并不是凭空产生的，而是有一定原因的．这个原因就是我们分类的标准和依据．一般来说，高中数学课程中的分类讨论可以归纳为以下几点：1．涉及的数学概念是分类定义的；2．由数学公式或数学法则的限制条件等运算的需要引发的；3．数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的；4．涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的．在运用分类讨论思想解题时，我们要明确分类的原因是什么，对象是什么，分几个类别，不仅要掌握分类的原则，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完整性．方法应用示例考点一根据数学概念的要求分类讨论有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．例1设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．【独立解答】 0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1.①当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]1＝loga(1－x2)＞0；②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.由①、②可知，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.变式训练“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m＝12时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可得两条直线垂直；当m＝－2时，两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂直，因此m＝12是题目中给出的两条直线相互垂直的充分不必要条件．【答案】B考点二根据运算的要求或定理、性质、公式的条件分类讨论1．一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．2．分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式时两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题，差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．例2(2010·银川模拟)在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1,2，…(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn.思路引导(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2n＝2an，得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1.又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an，所以，an＝n.2(2)由bn＝anpan得bn＝npn，所以Tn＝p＋2p2＋...
