6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA＝4i＋2j，OB＝3i＋4j，则2OA＋OB的坐标是()A．(1，－2)B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)解析：因为OA＝(4,2)，OB＝(3,4)，所以2OA＋OB＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．答案：D2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．答案：D3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()A．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)解析：b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．答案：A4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.解析：由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(1，－2)．答案：(1，－2)6．如右图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4，∠xOA＝60°，则向量OA的坐标为________．解析：设点A(x，y)，则x＝|OA|·cos60°＝4cos60°＝2，y＝|OA|·sin60°＝4sin60°＝6，即A(2，6)，所以OA＝(2，6)．答案：(2，6)7．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.解析：易得AB＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等得解得x＝－1.答案：－1三、解答题8．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示OA，OB，AB，并求出它们的坐标．解析：由图形可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6,2)，OB＝(2,4)，AB＝(－4,2)．9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.(1)求p的坐标；(2)若以a，b为基底，求p的表达式．解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以所以所以p＝－a－15b.[尖子生题库]10．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OAa，OB＝b，OC＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.解析：如图，以O为原点，OA为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B(cos150°，sin150°)，C(3cos240°，3sin240°)．即B，C，又∵A(2,0)，故a＝(2,0)，b＝，c＝.设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，∴＝λ1(2,0)＋λ2＝，∴∴∴c＝－3a－3b.
