第五章平面向量平面向量的线性运算和坐标运算【背一背重点知识】1.向量加法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量.2.向量的减法：用“三角形法则”，要注意：减向量与被减向量的起点相同.3.向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的.4.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等.5.两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.6.平行向量无“传递性”（因为有).7.三点A、B、C共线共线.8.当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：(1)零向量的方向及与其他向量的关系；(2)单位向量的长度及方向．9.已知，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆.应为，，使用时要注意区分清楚．【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时要学会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不共线向量）来表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件来解题.（2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多.（3）在中，当为中点时，应作为公式记住．（4）在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可．其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比．2.典型例题：例1．设是所在平面内一点，则A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为是所在平面内一点，，所以P是AC的中点，则.例2下列各组平面向量中，可以作为基底的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】例3在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.分析：（1）由，且，即可求出点的坐标，继而求出的值；（2）因为，所以，即，两式相减得：令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.【解析】：xyＣＢＡ12345–1–2–3–4–5123–1–2–3O【练一练提升能力】1.向量在正方形网格中的位置如图所示，若()，则=.【答案】4【解析】以向量的交点为原点，建立直角坐标系，则，由，得，即解得，.2.已知点,则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A3.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【答案】C．【解析】试题分析：．平面向量的数量积【背一背重点知识】1.数量积是一个实数，不再是一个向量.2.向量数量积与实数相关概念的区别：(1)表示方法的区别:数量积的记号是，不能写成，也不能写成.(2)相关概念及运算的区别：①若为实数，且，则有或，但却不能得出或.③若，则(结合律)成立，但对于向量，向量的数量积是不满足结合律．④若，则，但对于向量，却有，等号当且仅当时成立．3.设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；4.数量积的运算要注意：（1）时，，但时不能得得到或，因为时，也有.（2）若，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量满足()，则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量．（3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法.【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即.（3）已知非零向量则有，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关垂直问题的有力工具，应熟练掌握．2.典型例题：例1如图在平行四边形中，已知，，则的值是.分析：利用平面向量的线性运算法则，及，建立的方...
