高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.(2018北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+❑√3cosA=0,a=2❑√7,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.3.(2018河南郑州三模,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且❑√3acosC=(2b-❑√3c)cosA.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.4.(2018河南六市联考二,17)已知f(x)=12sinx+π6·cosx-3,x∈[0,π4].(1)求f(x)的最大值、最小值;(2)CD为△ABC的内角平分线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2❑√2,求∠C.5.(2018山东潍坊三模,17)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2❑√3sinxcosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=2,c=5,cosB=17,求△ABC中线AD的长.6.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=❑√22,求BD和AC的长.7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4cos2B-C2-4sinBsinC=3.(1)求A;(2)若(bc-4❑√3)cosA+accosB=a2-b2,求△ABC的面积.8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=1,且A-B=π6,(1)求边c的长;(2)求角B的大小.参考答案高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.解(1)在△ABC中,∵cosB=-17,∴B∈(π2,π),∴sinB=❑√1-cos2B=4❑√37.由正弦定理,得asinA=bsinB⇒7sinA=84❑√37,∴sinA=❑√32.∵B∈(π2,π),∴A∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=❑√32×(-17)+12×4❑√37=3❑√314.如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sinC=hBC,∴h=BC·sinC=7×3❑√314=3❑√32,∴AC边上的高为3❑√32.2.解(1)由已知可得tanA=-❑√3,所以A=2π3.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=2❑√3,所以△ABD的面积为❑√3.3.解(1)由正弦定理可得:❑√3sinAcosC=2sinBcosA-❑√3sinCcosA,从而可得❑√3sin(A+C)=2sinBcosA,即❑√3sinB=2sinBcosA,所以cosA=❑√32,又A为三角形的一个内角,所以A=π6.(2)由余弦定理得4=b2+c2-2bc×❑√32≥2bc-❑√3bc,所以bc≤4(2+❑√3),当且仅当b=c时取等号,所以Smax=12bcsinA=2+❑√3.4.解(1)f(x)=12sinx×❑√32×cosx+12cosx×12×cosx-3=3❑√3sin2x+3(1+cos2x)-3=6sin(2x+π6).∵f(x)在[0,π6)上递增,在(π6,π4]上递减,∴f(x)max=6,f(x)min=3.(2)在△ADC中,ADsinC2=ACsin∠ADC,在△BDC中,BDsinC2=BCsin∠BDC,∵sin∠ADC=sin∠BDC,AC=6,BC=3,∴AD=2BD.在△BCD中,BD2=17-12❑√2cosC2,在△ACD中,AD2=44-24❑√2cosC2=68-48❑√2cosC2,∴cosC2=❑√22,即C=π2.5.解(1)∵f(x)=-cos2x+❑√3sin2x=2sin(2x-π6),∴T=2π2=π.∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-π6),∵在△ABC中,f(A)=2,∴sin(2A-π6)=1.∴2A-π6=π2,∴A=π3.又cosB=17,∴sinB=4❑√37,∴sinC=sin(A+B)=❑√32×17+12×4❑√37=5❑√314,在△ABC中,由正弦定理csinC=asinA,得55❑√314=a❑√32,∴a=7,∴BD=72,在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cosB=52+(72)2-2×5×72×17=1294,∴AD=❑√1292.6.解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=❑√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,①AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.②因为cos∠ADB=-cos∠ADC,所以①+2×②得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.解(1)4×1+cos(B-C)2-4sinBsinC=2+2cosBcosC-2sinBcosC=2+2cos(B+C)=2-2cosA=3,cosA=-12,∵0
