专题六第三讲定点、定值、存在性问题A组1．(2017·天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(A)A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线[解析]设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋x2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线．故选A．2．(2017·长春质检)过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(B)A．10B．13C．16D．19[解析]由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．故选B．3．(2017·山西质检)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是(B)A．1B．C．D．2[解析] ∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，设∠F1PF2＝θ，∴cosθ＝＝，∴S2△PF1F2＝(×4a×2a×sinθ)2＝16a4(1－)＝－9(a2－)2≤，当且仅当a2＝时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是．故选B．4．(2017·云南统检)已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且PF1·PF2＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|PF1|·|PF2|＝(B)A．21B．14C．7D．0[解析]设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，∴＝，①又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②又a2＋b2＝c2.③∴由①②③得a＝3．设点P为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得＝6④又PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，∴在Rt△PF1F2中|PF1|2＋|PF2|2＝82⑤联立④⑤，解得|PF1|·|PF2|＝14．5．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(D)A．B．C．D．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2．由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4．由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，∴－4＝5，∴k2＝，k＝．6．(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是(C)A．(，)B．(，)C．(，)D．(，1)[解析]设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，由椭圆的定义及题意知，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c＝10，得到a－c－5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<<2，∴0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM斜率的最大值为(C)A．B．C．D．1[解析]设P(，t)，则F(，0)，则由|PM|＝2|MF|，得M(，)，当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C．7．(2017·河南洛阳统考)已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为__x＝－2__.[解析]将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2．8．(2017·南昌一模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则PM·PN的最小值为__－14__.[解析]由题意知F(0,1)，所以过点F且斜率为1的直线方程为y＝x＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4＝0，解得x＝2±2，所以可取M(2－2，3－2)，N(2...
