专题01函数的基本性质第一季1．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对都有，所以是定义在上的周期为4的函数；作函数与的图象，结合图象可知，解得，故选D.2．已知定义在上函数：满足，为函数的导函数，且无零点，则的值为（）A．0B．2C．D．【答案】B【解析】无零点，故函数为单调函数，由知为常数，设，3．已知定义在上的可导函数、满足，，，如果的最大值为，最小值为，则（）A．-2B．2C．-3D．3【答案】D【解析】，，，则故，则，，故的图象关于(0，)对称，，故选D4．已知偶函数的定义域为，且满足，当时，，.①方程有个不等实根；②方程只有个实根；③当时，方程有个不等实根；④存在使.A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】B【解析】1号得到:.令,代入原式,得到或,解得两个方程各有一个根,故正确;2号建立方程,解得,所以为偶函数,而,,故不止一个实根,故错误.3号解得x=2，0,-2.-4,…..而令，故的范围为，因而，一共有七个根，故正确。4选项当，，而当，根本就不存在这样的点，故错误。5．若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数的值为（）A．B．2C．1D．0【答案】B【解析】首先注意到没有对称点.当时，，则，即有两个实数根，即有两个实数根.画出的图像如下图所示，由图可知时有两个解.6．定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】,当时，,作出图形，由图可知直线过点时有六个交点，过点时有八个交点，过点时有六个交点，过点时有八个交点，因此要使函数有7个零点，需，选A.7．已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C8．设函数，若，满足不等式，则当时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.9．定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（)A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】定义在上的奇函数满足，得即则的周期为8．函数的图形如下：比如，当不同整数分别为-1，1，2，5，7…时，取最小值，，则b-a的最小值为18，故选D点睛：本题考查了奇函数的性质，数形结合是解题的关键，属于中档题．10．设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以在上有解因为,(易证),所以函数在上单调递增,因此由得在上有解，即,因为，选C.11．函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，当时，函数为增函数，所以当时，由移项得两边平方整理得得从而且．由，得，由所以．综上，所求函数的值域为.选D12．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时与时，矛盾，因此当时，，设，则,因此为单调减函数，从而,,,,,选D.13．定义在上的偶函数，当时，，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（）A．有两个B．有一个C．没有D．上述情况都有可能【答案】A【解析】由于函数，为偶函数，且在单调递增，如图所示，函数，在上恒成立，函数在上的图象位于的图象上方，当时，由可得，解得，故的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即，由于函数的值域为，故函数的图象和直线有个交点，关于的方的根有个，故选A.14．设函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f(x)=x3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数．②f(x)在[1，3]上的解析式为f(x)=(2-x)3．③f(x)在处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】当时,当时,,所以切线方程为f(x)的图象关于x=...
