专题五解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。方程ax2＋bx＋c＝0的解.交点个数l与C的关系a＝0b=0无解（含双曲线的渐近线）无公共点b≠0有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线）一个交点相交a≠0Δ＞0两个不等的解两个交点相交Δ＝0两个不等的解一个交点相切Δ＜0无实数解无公共点相离2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|.（抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1、利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。例1已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，，利用求得离心率；（2）设点，，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.【解析】故.故此直线与圆相切.2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2已知椭圆，其中为左、右焦点，且离心率，直线与椭圆交于两不同点.当直线过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）若，当面积为时，求的最大值.【答案】（1）；（2）5.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值.由前知，，.11分，当且仅当，即时等号成立，故.综上可知的最大值为.13分3、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。例3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与直线,四点，，（）中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线上．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若动点P在直线上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得，再过P作直线.证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．分析：由椭圆的的性质可判断出点的位置，并求出椭圆的方程；利用点差法表示出直线MN的斜率，由得出直线的斜率，从而写出直线的方程，通过直线方程求出定点坐标。【练一练提升能力】1.如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1）求的值；（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.【答案】（1），；(2)【解析】2.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的...
