第三讲利用递推公式求数列的通项公式1．递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系an＋k＝f(an＋k－1，an＋k－2，…，an)称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列．(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．2．数列递推关系的几种常见类型（1）公式法：形如Sn=f(n)或Sn=f(an)或Sn=f(n,an)(2)累加法：形如an－an－1＝f(n)(n∈N*，且n≥2)当n∈N*，n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(3)累乘法：形如＝f(n)(n∈N*且n≥2)当n∈N*，n≥2时，an＝··…··a1.注意：n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．（4）倒数法：（构造等差数列）形如整式：两边同时除以分式：两边同时取倒数（5）待定系数法①形如an＝pan－1＋q(n∈N*且n≥2)方法：化为an＋＝p的形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，{bn}为等比数列，从而求得数列{an}的通项公式．②形如an＝pan－1＋f(n)(n∈N*且n≥2)方法：两边同除pn，得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化为利用累加法求bn，从而求得数列{an}的通项公式．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一公式法【例1】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.【套路秘籍】---千里之行始于足下(2)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.【答案】（1）4n－5（2）-63（3）∴an＝【解析】（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.（2） Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴Sn＝＝＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.（3）当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2， a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①∴a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝.显然当n＝1时不满足上式，∴an＝【套路总结】使用条件：已知解题思路：①首项：看题目有无首项，无则令n=1根据求出，如果题目已知，则直接进行②②列式：写出当时，的表达式③相减：利用，求出或者转化为的递推公式的形式；④检验：令n=1并代入的通项公式并与第一步中的对比，如果相等，则通项就只有一道；若不相等，则写出分段形式an=¿{a1(n=1)¿¿¿¿【举一反三】1.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.【答案】【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝2.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________.【答案】【解析】因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．由题意知a1＝符合上式，所以an＝.3.若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.【答案】(－2)n－1【解析】当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列．故an＝(－2)n－1.考向二倒数法求通项【例2】（1）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝，则an＝________.(2)已知在数列中，a1＝，且当n≥2时，有an－1－an－4anan－1＝0，则an＝____________.【答案】（1），n∈N*（2）(n∈N*)【解析】（1)由已知可知an≠0，∴＝＋，即－＝，又＝1，∴是以1为首项，为公差的等差数列，＝＋(n－1)×＝，∴an＝，n∈N*.(2)由题意知an≠0，将等式an－1－an－4anan－1＝0两边同除以anan－1得－＝4，n≥2，则数列为等差数列，且首项为＝5，公差d＝4，故＝＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1，∴an＝(n∈N*)．【套路总结】使用模型（其中为常数）解题思路：第一步：将递推公式两边取倒数得，当r=p时，，是等差数列当r¿p时，采用构造法构造等比数列第二步：求出数列的通项公式；第三步...
