解答题专项训练四1.[2017·佛山模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明(1)以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°. PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0，0,2)，M，∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(2，3,0)，CM＝.(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由即令y＝2，得n＝(－，2,1)． n·CM＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥CM.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，BE＝(－，2,1)． PB＝AB，∴BE⊥PA.又 BE·DA＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴BE⊥DA，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又 BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.2．[2017·南京模拟]如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．解(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，所以NE＝，AM＝(－1,0,1)．设异面直线NE与AM所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈NE，AM〉|＝＝＝.所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，如图所示．因为AN＝(0,1,1)，可设AS＝λAN＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]，又EA＝，所以ES＝EA＋AS＝.由ES⊥平面AMN，得即解得λ＝，此时AS＝，|AS|＝.经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.3.[2015·湖北高考]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥BP交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值．解(1)证明：如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD＝DC＝1，BC＝λ，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(λ，1,0)，C(0,1,0)，PB＝(λ，1，－1)，点E是PC的中点，所以E，DE＝，于是PB·DE＝0，即PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.因PC＝(0,1，－1)，DE·PC＝0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.(2)由PD⊥平面ABCD，所以DP＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由(1)知PB⊥平面DEF，所以BP＝(－λ，－1,1)是平面DEF的一个法向量．若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，则cos＝＝＝，解得λ＝.所以＝＝.故当平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为时，＝.4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值．解(1)证明：取AB的中点为O，连接OD，OB1，因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD.因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知B1(0,0，)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)．则B1D＝(0,1，－)，AC＝(2,2,0)，CC1＝(－1,0，)．设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AC＝0，m·CC1＝0，即x＋y＝0，－x＋z＝0，可取m＝(，－，1)．设直线B1D与...
