一、平面向量的线性运算二、平面向量的坐标运算培优点八平面向量例1：如图，三个半径为的圆两两外切（，，为圆心），且等边的每一边都与其中的两个圆相切，则．【答案】【解析】由题意易得，所以．例2：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量三、平面向量数量积，叫做把点绕点逆时针旋转角得到点．若平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，顺时针旋转时，，代入得，，即， ，∴，故选A．例3：如图在矩形中，，，点为的中点，点在上，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选基向量和，由题意得，，，∴，∴，即，解得， 点为的中点，，∴，，∴．故选B．四、平面向量和三角形函数，解三角形的综合例4：在中，，，，是的内心，若，其中，，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，根据题意知，点在以，为邻边的平行四边形内部，∴动点的轨迹所覆盖图形的面积为，在中，，，，∴由余弦定理得，，解得或（舍去），又为的内心，所以内切圆半径，五、平面向量和平面几何的综合又，∴，∴动点的轨迹所覆盖图形的面积为．故答案为A．例5：在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为， ，，∴，∴，∴，∴圆的方程为，设点的坐标为， ，所以，∴，，对点增分集训∴，其中， ，，故的最大值为，故选A．一、选择题1．梯形中，且，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得．故选C．2．在中，是边所在直线上任意一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 中，是边所在直线上任意一点，∴存在实数，使得，即，化简得， ，∴结合平面向量基本定理，得，解之得，．故选C．3．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，，由，得，∴点的轨迹为一个以原点为圆心，为半径的圆，因在直线上，故圆心到直线的距离，故，故选C．4．已知，且，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，，，且，又，取中点为，可得， ，∴的终点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点在点处，的最小值为；当点在的延长线时，的最大值为，∴的取值范围是，故选A．5．若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】，即， ，∴，即，∴是等腰三角形，故选A．6．长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，∴，∴，即，即，故，（当且仅当时，等号成立）；故，故的最大值为．7．过点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得圆心坐标满足，即，可知圆心在直线上运动，则．设，则，易知函数在上为增函数，所以．故选C．8．如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设（，），则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，以，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设．因为，所以，即，所以，所以，则．由题意知动点的运动区域为内（含边界），因此平行于直线的直线经过点时，取得最大值，即，故选D．9．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且，，三点共线，可知，，故．以点为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当，即时取“”）．故的最小值为．故选B．10．已知，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，， ，∴，∴，，∴，当且仅当，即时，取等号，由可得，由可得，∴的最大值为，最...
