第三讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.若抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为()A.B.-C.±D.-【解析】选B.因为MA平行于x轴,所以A的纵坐标为1,所以A的横坐标为,又因为直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为=-.2.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+∞)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)【解析】选C.因为e==,a>1,所以e∈(1,).3.设离心率为的椭圆+=1的右焦点与双曲线x2-=1的右焦点重合,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.因为双曲线x2-=1的右焦点为(2,0),所以c=2,又因为离心率为,所以a=4,所以b2=12,所以椭圆的方程为+=1.4.已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1b>0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.设线段PF1的中点为M,另一个焦点为F2,由题意知,OM=b,又OM是△F1PF2的中位线,所以OM=PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知PF1=2a-PF2=2a-2b,则MF1=PF1=(2a-2b)=a-b,又OF1=c,所以在直角三角形OMF1中,由勾股定理得:(a-b)2+b2=c2,又a2-b2=c2,可得2a=3b,故有4a2=9b2=9(a2-c2),由此可求得离心率e==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知A,B是圆C:x2+y2-8x-2y+16=0上两点,点P在抛物线x2=2y上,当∠APB取得最大值时,|AB|=____________.【解析】设∠PCB=θ,θ∈(0,π),要使得∠APB取得最大值,当且仅当cos∠ACB=cos2θ=2cos2θ-1=-1达到最大,也就是CP2最小时,因为圆心C的坐标为(4,1),设点P,所以CP2=(x-4)2+=-8x+17,求导数得x3-8=0,所以x=2,所以当x=2时,CP2取到最小值,最小值为5,此时cos2θ=-,所以在△ACB中由余弦定理得|AB|==.答案:7.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,顶点B(0,b)到右焦点F2的距离为4,直线x=a上存在点P,使得△F2PF1为底角是30°的等腰三角形,则此椭圆方程为____________.【解析】因为顶点B(0,b)到F2的距离为4,所以a=4,因为△F2PF1为底角是30°的等腰三角形,所以c=3,所以b2=7,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.与双曲线-y2=1有相同的焦点,且经过点(0,-2)的椭圆的标准方程为_____.【解析】因为双曲线-y2=1的焦点为(±,0),所以椭圆的焦点为(±,0),c=,又因为椭圆经过点(0,-2),所以b=2,所以a2=10,椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB中点,且|AF|+|BF|=2+2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)若过A作抛物线C的切线l1,过D作与x轴平行的直线l2,设l1与l2相交于点E,l2与C相交于点H,求证:为定值,并求出该定值.【解析】(1)根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,因为|AF|+|BF|=2+2x0,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设过A(x1,y1)的切线l1方程为x=m(y-y1)+x1,联立抛物线C与切线l1的方程得y2-4my+4my1-=0,所以Δ=16m2-4(4my1-4x1)=0,解得m=,所以过点A的切线方程为y1y=2(x+x1),联立直线l2的方程y=y0,解得点E,即E为,所以H,所以|EH|=-==,所以|HD|=xD-=-==,所以=1,即的定值为1.10.已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1和l2,分别交曲线C于点A,B和K,N.设线段AB,KN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.【解析】(1)由题意可知:动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线.因为...
