课堂达标(三十七)直线、平面平行的判定及性质[A基础巩固练]1．(2018·保定月考)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]命题①：l可以在平面α内，不正确；命题②：直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a可以在平面α内，不正确；命题④正确，故选A.[答案]A2．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定[解析]如图，由＝得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.[答案]A3．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()A．①②B．①④C．②③D．③④[解析]由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.[答案]A4．如图所示，在空间四边1形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形[解析]由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝BD，∴EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，∴HG∥BD，且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．[答案]B5．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[解析]由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确，由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD没有论证来源．[答案]C6．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③， A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正确的；对于④， 水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.2∴BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.[答案]C7．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)[解析]当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.[答案]②③④8．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为______．[解析]如图1， AC∩BD＝P，∴经过直线AC与BD可确定平面PCD. α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，∴AB∥CD.∴＝，即＝，∴BD＝.如图2，同理可证AB∥CD.∴＝，即＝，∴BD＝24，综上所述，BD＝或24.[答案]或249．如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是______．[解析]设＝＝k，∴＝＝1－k，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又 0
