江苏省高考理科附加题预测卷（五）2009-6-41.（矩阵与变换）已知矩阵，向量．（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；（2）求的值．解：(1)矩阵的特征多项式为，令，得,当时，得,当时，得.…………………5分(2)由得，得.∴.……………………10分2．（参数方程与极坐标）以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为(4，)．若直线l过点P，且倾斜角为，圆M以M点为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆M的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆M的位置关系．解：（1）直线的参数方程为（为参数）圆C的极坐标方程为．…………………5分（2）点M的直角坐标为，直线的普通方程为，圆心M到直线的距离，所以直线与圆C相离．.……………………10分3．如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．用心爱心专心（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值．解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．cos<>．由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．（II），，设平面ABE的法向量为，则由，，得取n＝（1，2，2），平面BEC的一个法向量为n2＝（0，0，1），．由于二面角A－BE－C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是－．4．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，，故的分布列为：621-2用心爱心专心0.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为．用心爱心专心
