专题跟踪训练(二十七)一、选择题1．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围是()A.B．(2，＋∞)C.D．(－∞，2)[解析]原不等式即(x－1)m－(2x－1)<0，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数f(m)的值在区间[－2,2]内恒为负值应满足的条件，得即解得x>，故选C.[答案]C2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)[解析]设g(x)＝f(x)－2x－4则g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在R上单调递增．又 g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴f(x)>2x＋4，即g(x)>0的解集为{x|x>－1}，故选B.[答案]B3．方程m＋＝x有解，则m的最大值为()A．1B．0C．－1D．－2[解析]由原式得m＝x－，设＝t(t≥0)，则m＝1－t2－t＝－2，∴m＝－2在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0时，m的最大值为1，故选A.[答案]A4．已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为()A．2B．2C．2D．4[解析]如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，故a2h＝32，即a2＝.则其侧棱长为l＝＝.令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，令f′(h)＝0，解得h＝2.显然当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；1当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增．所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，故其侧棱长的最小值l＝＝2，故选A.[答案]A5．如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，OQ＝OA＋OP，四边形OAQP的面积为S，当OA·OP＋S取得最大值时θ的值为()A.B.C.D.[解析]由OQ＝OA＋OP，知四边形OAQP为平行四边形，故OA·OP＋S＝|OA|·|OP|cosθ＋|OA|·|OP|sinθ＝cosθ＋sinθ＝sin，所以θ＝时，有最大值，选B.[答案]B6．已知函数f(x)＝x2＋4x＋4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，f(x－a)≤4x(a>0)恒成立，则实数t的最大值是()A．4B．7C．8D．9[解析]由图可知，当函数y＝f(x－a)的图象经过点(1,4)时，有x∈[1，t]，f(x－a)≤4x(a>0)恒成立，此时t取得最大值，由(1－a)2＋4(1－a)＋4＝4，得a＝5或a＝1(舍)，所以4t＝(t－5＋2)2，∴t＝1(舍)或t＝9，故t＝9，故选D.[答案]D二、填空题7．方程x2－x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是________．[解析]由m＝x2－x＝2－及x∈[－1,1]可得m∈.2[答案]8．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．[解析]an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ， 数列{an}是递增数列，∴2n＋1＋λ>0对n∈N*恒成立，∴λ>－2n－1恒成立，又－2n－1≤－3，故λ>－3.[答案](－3，＋∞)9．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．[解析]利用向量的数量积结合一元二次方程根与系数的关系求解．设C(x，x2)，由题意可取A(－，a)，B(，a)，则CA＝(－－x，a－x2)，CB＝(－x，a－x2)．由于∠ACB＝，所以CA·CB＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0，整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.所以解得a≥1.[答案][1，＋∞)三、解答题10．已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝，x>－1，且x≠0，证明：g(x)<1.[解](1)f′(x)＝－xex.当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0,f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0.(2)证明：由(1)知，当x>0时，f(x)<0，g(x)<0<1.当－1x.设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.当x∈(－1,0)时，0<－x<1,0h(0)＝0，即g(x)<1.综上，总有g(x)<1.11．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.(1)求数列{an}的通项an；(2)设数列{bn}的通项bn＝，设Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．[解](1) {an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，∴S10＝145，∴S10＝.∴a10＝28，∴公差d＝3.∴an＝3n－2(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝＝＝，∴S...
