函数的思想方法孟兆福杨继函数的思想方法就是运用运动和变化的观点，集合和对应的思想，去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化合理地构造函数，运用函数的图象和性质，使问题获得解决。函数的思想方法，是最重要的、最基本的数学思想方法之一，它是贯穿于整个高中数学的一条主线．作为函数这一章的小结与复习，下面运用函数的思想方法来研究一些问题。一、利用函数的定义域和值域：分离参数，视参数为变元的函数，转化为变元的定义域或值域求解。例1.已知方程中，a为正整数，问a取何值时，方程至少有一个整数根。分析：用求根公式解出x，讨论x的整数值，将十分繁难。“反客为主”视参数为变元的函数来试试。解：将原方程改写为。由于时，上式不成立。故①若要a为正整数，则须。解得，所以x只能在中取值，代入①中，可知仅当时，能保证a为正整数，此时。故当a为1或5时，原方程至少有一个整数根。例2.设对于任意实数x不等式都成立，求实数a的取值范围。解：原不等式化为。即，得，构造函数，则，因为对于任意实数x原不等式都成立，不妨取，故，即，解得。例3.函数的反函数的定义域是什么？解：要求反函数的定义域，可以转化为求原函数的值域。由，得。所以的值域为，从而的定义域为。二、利用函数的单调性：有些数学问题，若能与函数的单调性联系，常能获得简捷、直观的解法。例4.解方程：。解：由在R上是增函数，且，得，，当且仅当时取等号。解之得：为原方程的解。三、利用函数的奇偶性：利用奇偶性可把高次式转化为一次式，也可使求解问题避开复杂的讨论。用心爱心专心例5.已知，求的值。解：条件等式可变形为构造函数，上式转化，由是奇函数，可得。根据在R上单调递增，对应法则f是一一对应的，可得，所以。四、利用二次函数的性质：巧妙构造二次函数，使本来复杂的问题，转化为二次函数的简单的问题。例6.求证：分析：若将左边直接通分化简，计算量大。但其每一项均为x的二次式，且轮换对称，可构造辅助函数。证明：构造函数，则是二次函数。，且由定义域知：a，b，c互不相等。这说明二次函数至少有三个不同的零点而二次函数最多与x轴有两个交点，即最多只有两个零点。所以。故原等式成立。例7.若a，b，c，d，e均为实数，且满足条件，试确定e的最大值。解：构造函数。由，得。又由已知，即得，解得，故e的最大值为。点评：以上各例道理都很简单，但构造函数却很巧妙，要结合题目的实际条件进行构造。练习题1.已知有实数解，求参数a的取值范围。2.已知的定义域关于原点对称,求证:可以用一个奇函数与一个偶函数的和表示.并试用构造一个奇函数与一个偶函数.3.若方程的两个根都比1大,求m的取值范围.参考答案1.；2.为偶函数，为奇函数；3.用心爱心专心
