课时作业17直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质——基础巩固类——1．下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①②③均正确．2．下列命题中错误的是(D)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．3.如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(B)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析： PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又 平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(C)A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(D)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝直线a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，故选D.6.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线．因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.7．长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是平行．解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.又 MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.又 MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.8．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.解析：如图，连接BC， 二面角αlβ为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosαcosβ＝2.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosαcosβ＝2.10.如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求多面体APBC的体积．解：(1)证明： PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC. ∠BCD＝90°，∴BC⊥CD. PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.(2) PD⊥平面ABCD，∴VAPBC＝·S△ABC·PD. AB∥DC，∠BCD＝90°，∴△ABC为直角三角形且∠ABC为直角． PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，∴VAPBC＝·S△ABC·PD＝×·AB·BC·PD＝××4×2×2＝.11.如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1) E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2) PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又 平...
