第3讲等比数列及其前n项和VIP免费

探究一等比数列的判定与证明探究一等比数列的判定与证明探究二等比数列基本量的求解探究二等比数列基本量的求解探究三等比数列性质的应用探究三等比数列性质的应用训练1例1训练2例2训练3例3知识与方法回顾技能与规律探究经典题目再现辨析感悟辨析感悟知识梳理知识梳理(1)等比数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于________非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒_________.21．等比数列的有关概念同一个公比a，G，bG2＝ab2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝__________；若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝_________.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝__________＝a1－anq1－q.a1qn－1amqn－ma11－qn1－q(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝_________.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为_____.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____.(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．am·an3．等比数列及前n项和的性质qmqn(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq，a，aq.()1．对等比数列概念的理解(6)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()(7)(2014·兰州模拟改编)在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.()(8)(2013·江西卷改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于－2或0.()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()(5)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3－2an.()2．通项公式与前n项和的关系3．等比数列性质的活用二个防范一个区别一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．“等差数列”与“等比数列”等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)的错因是“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当an＋1an＝q＜0时，lnan＋1－lnan＝lnq无意义；而(7)中，当q＝－1时，S4＝0，所以S4，S8－S4，S12－S8不能构成等比数列.等比数列的判定与证明【例1】(2013·济宁测试)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求an.证明考点由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1.故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.规律方法考点证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明anan－1＝q(n≥2，q为常数)；等比数列的判定与证明【训练1】(2013·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．考点解(1)等比数列的判定与证明设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q...