《与实数有关的数学家》毕达哥拉斯无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦.同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”.这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了.它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响.不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭.两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数.15世纪达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）把它们称为是“无理的数”（irrationalnumber），开普勒（J.Kepler，1571-1630）称它们是“不可名状”的数.这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题.中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数.对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数.这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视.不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣，而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了.既然不能克服它，那就只好回避它.此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来.欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离.法国数学家柯西17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来.因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域.无理数正是实数域连续性的关键.无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy，1789-1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限.然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小.但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的.这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响.变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）、戴德金（R.Dedekind，1831-1916）、康托（G.Cantor，1845-1918）等人加以完成了.1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年.这一年，克莱因（F.Kline，1849-1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（ErlangerProgramm），魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子.也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了.德国数学家克莱因努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误.有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环.导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质.几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明.因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到.这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物.实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域.实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现.由于实数理论的内容过于庞大，处理方式也各有不同，因此，它的有关理论也散见于各种文献中，以下是对定义实数系方法的文献综述.
