爬楼梯中的数学问题VIP专享VIP免费

爬楼梯中的数学问题很多同学放学回家，都需要经过一个爬楼梯的过程（住在一楼的同学和坐电梯的同学除外）。你知道吗，爬楼梯的过程中也隐藏着奇妙的数学问题呢？不信，你瞧——题目：明明要爬楼梯，他每次能向上跨一级或两级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？思路点拨：很多同学刚看到这样的题目，可能会有无从下手的感觉。其实，这一题我们只要先从简单的情况考虑起，很快就能找出其中隐藏的规律。爬一级楼梯只有1种方法，爬两级楼梯有2种方法，爬三级楼梯有3种方法，爬四级楼梯有5种方法……列表如下：相信同学们此时都已经看出来了，没错，爬楼梯的方法数正好组成了一个斐波那契数列，从第3个数开始，每一个数都等于它前面的2个数之和。是不是很奇妙呢？找到了这个规律，这一题也就迎刃而解了。爬10级楼梯共有89种不同的走法。且慢，有的同学喜欢迈大步，如果爬楼梯时可以每次跨一级，或者跨两级，甚至跨三级，还是10级楼梯，又有几种不同的走法呢？思路点拨：相信大家此时再不会感觉无从下手了。没错，还是从简单的情况开始考虑：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有四级楼梯，他有7种走法……列表如下。发现规律了吗？对，观察爬楼梯的方法数，这里是从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。所以，这里爬10级楼梯，应该有274种不同的走法。继续探索：如果明明每次爬楼梯时只允许每次跨两级，或者每次跨三级，不允许一级一级跨，还是10级楼梯，这次又有几种不同的走法呢？思路点拨：这次的规律可能比较难找一些。我们不妨还是先列表，再仔细观察找规律。列表如下：这里的规律是这样的：观察爬楼梯的方法数，从第4个数开始，每一个数都等于跳过它前面一个数的前两个数之和。例如：第1个数与第2个数的和等于第4个数；第3个数与第4个数的和等于第6个数……利用这样的规律，如果有11级楼梯，12级楼梯……，又会有几种不同的走法呢？分类枚举，周密考虑苏州工业园区第二实验小学董良题目：饲养员给3只猴子吃红、绿、黄苹果各1个，每只猴子可以吃1个、2个、3个或者不吃，如果苹果要全部吃光，那么一共有多少种不同的吃法？思路点睛：我们不妨把这三只猴子分别用字母A、B、C来表示。然后，再从三种分配方案来分类枚举。第一种分配方案：其中的一只猴子将三个苹果全吃完，其它的两只猴子吃不到。这种方案最容易考虑，A吃三个，B、C不吃；B吃三个，A、C不吃；C吃三个，A、B不吃，共有三种吃法。第二种分配方案：其中的一只猴子吃2个苹果，另一只猴子吃1个，还有一只猴子没吃到苹果。这种情况下比较复杂，考虑时要特别仔细，避免遗漏。我们可以先从哪只猴子吃不到入手。如果A猴子吃不到，那么B猴子可以吃两个，也可以吃1个，有两种可能情况；同理，B猴子吃不到苹果，或者C猴子吃不到苹果，也各有两种可能情况。列表如下：这里需要特别注意的是，仅仅知道每个猴子各自吃了几个苹果是不够的，还必须考虑吃的苹果的颜色。上面的每一种可能情况，又各有三种不同的吃法，举例说，如果B吃2个，C吃1个，则三种吃法列表如下：根据乘法原理，第二种分配方案共有6×3=18（种）不同的吃法。第三种分配方案：每只猴子吃一个，最为公平。这种方案考虑起来也不复杂，同样根据乘法原理，A、B、C三只猴子挑选红、绿、黄三种不同颜色的苹果，共有3×2×1=6（种）挑选法。枚举如下：综合三种分配方案，一共有3＋18＋6=27（种）不同的吃法。自我探索：饲养员给3只猴子发了红、绿、黄、青4个苹果，每只猴子可以吃1个、2个或者不吃，如果苹果要全部吃光，那么一共有多少种不同的吃法？