（培优）第三讲递归与求和贵川于2014年6月教师寄语：学而不思则不解，思而不作则不精！数列综合题为高考的压轴题目，一般为第一问求通项或求证通项的范围，第二问经常以数列不等式的形式出现，有灵活的处理技巧和难度，学好本节内容是高考考取高分的关键。本文对该类题目作分类分析，以期提高同学们对数列内容的理解和掌握。一、求通项的常见方法：类型一、差型、商型递归1、差型递归：+例1、求值：2、商型递归：注意：①根据结构寻找数列的后前项之差（商）；②是联系的关系式；③解决的方法分别是叠加法和累乘法。例1、是首项为1的正数列，且满足：，求例2、、已知数列满足，，求类型二、一次型整式型递归：（为不等于1，0的常数。想想：为什么有这个规定？）1通法：两边除以得：，令=，其中则为差型递归，用（1）中的公式或叠加即可求，再解出。括号里通常有三类，不一样的结构，方法的难易程度有差别。①为常数。如，待定系数法较简单。令展开对应得。所以是一个等比数列。思考：一般形式（为常数），用待定系数法配凑时；用迭代法得一般公式为：，此公式怎么来的？②为一次函数。如，待定函数法较简单。令，其中待定函数为对照系数有，所以所以是一个等比数列。思考：为二次函数？③为指数函数。如，用通法较简单。所以为差型递归。例1、某县位于沙漠地带，到2010年底全县的绿化率为，从2011年起，每年将绿化原有沙漠面积的，同时有的原有绿化面积被沙化。设全县的陆地面积为，2010年底的绿化面积为，经过年后绿化面积为（1）求，（2）求,（3）需要经过多少年努力才能使绿化面积不少于？类型三、不动点法求积式递归或分式递归：1、积式递归：，（为常数）2令，得根，（1）若有二不等根，可构造，则为等比数列，求出，，公比求出，再转化求出；（2）若有等根，可构造，则为等差数列，求出，，公差求出，再转化求出；例1、已知数列满足，求。例2、已知数列满足，求。2、一次型分式型递归：（分式型一阶递归）（分式型一阶递归）特征根方程：把项都换为得特征根方程，求其根、，其余与积式递归相同（一次分式递归转化后即为积式递归，所以二者是指相同）。例1、已知数列满足，求。例2、已知数列满足，求。33、二次型一阶递归：不动点法例1、已知数列满足，求。例2、已知数列：10a，)4(211nnnaaa，（1）求数列的通项公式；（2）证明：，。类型四、二阶递归：二阶递归数列不作过多要求，这里略述。特征方程，求其根、，构造新数列通常有等比等规律性性质。再用一阶递归数列的方法解决。通项公式：（1）若则，代入初始值求得（2）若则等差，代入初始值求得首项和公差，不要求机械记忆。例1、求数列的通项公式。例2、求裴波拉契数列的通项公式。4例3、求数列的通项公式。类型五、复合数列问题（注意综合分析，要特别注意考察数列的后前项关系）例1、设，则数列nb的通项公式nb=．例2、数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n³1)。记(n³1)。（1）求b1、b2、b3、b4的值；（2）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。例3、已知数列，满足，，且（）（1）令，求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式及前项和公式．例4、数列，满足：且，求，例5、甲容器中有溶液400，浓度为0.8，乙容器中有溶液300，浓度为0.2。记以下过程为一次操作：从甲容器中倒出100溶液给乙容器，混匀后从乙容器中倒出100溶液给甲容器。设第次操作后甲、乙容器的浓度分别为则至少经过几次操作后梁容器的浓度差小于0.01？（取，）5形如的结构，应变形为，考虑数列为差型递归。例：等例6、数列的前项和为，已知求类型六、和项关系（要注意从练个方面思考问题）和项关系：一般数列中：与的关系为：==例1、已知数列满足：，，求证：例2、数列的前项和为，，，求，例3、数列的前项和为，，，求，例4、数列的前项和为，，求，6例5、数列的前项和为，，（1）求证（2）设的公比为，作数列，使，，求和项关系的深层次理解例6、正数列满足：，求例7、，，，…，均为等腰直角三角形,已知它们的直角顶点，，，…，在曲线上，点，，，…，在轴上（如图）.（1）分别求斜边，，的长；（2）求数...
